已和内心到三项点的距离分别为1,1/2,1/3,求作这个三角形

天音

已和内心到三项点的距离分别为1,1/2,1/3,求作这个三角形

kuing

什么叫“三项点”？看来你也是五笔党啊

不过你这题目是随便出的吧？尺规应该是不可作的。
设三边 $AB=x+y$, $BC=y+z$, $CA=z+x$，内心 $I$，半切圆半径 $r$，则有
\[\led
IA^2&=r^2+x^2, \\
IB^2&=r^2+y^2, \\
IC^2&=r^2+z^2, \\
r^2&=\frac{xyz}{x+y+z},
\endled\]
将数据 $IA=1$, $IB=1/2$, $IC=1/3$ 代入，消去 $r$, $x$, $y$ 得 $1296 z^6+1332 z^4-92 z^2+1=0$……闪走……

天音

高次方程一定不可作？怎么证明？

player1703

回复 3# 天音

尺规作出任何点一定是直线与直线, 直线与圆弧, 或圆弧与圆弧的交点。从代数意义上说一定是$x^2$ 与 $y^2$ 项系数都是0或1的二元一次或二次方程组的根, 消去一个变量后一定是一元一次或一元二次方程, 所以高次方程一定不可作.
事实上, 给定2个长度a, b与单位长度1, 尺规只能作出如下长度: $a + b, a - b, ab, a/b$ 和开方 $\sqrt a $, 所以有限步只能作出以上任意运算有限次复合, 其它不可作.

abababa

用软件算的话，这个方程最后还能用根式表式出来，不过要开三次方，这就不能尺规作图了。

kuing

回复 5# abababa

解是肯定能解，实际上是三次方程，代卡当公式而已

kuing

不过楼主好像也没说过“尺规”二字

天音

回复 7# kuing


    别老纠结这些细节，尺规是作图行规
题不是我出的，网上看到的

abababa

回复 6# kuing

确实，一开始看最高次是6就马上用软件了，都没注意能换元变成三次的。

如果除了平时说的尺规，再加一种其它的工具，能作出特定的图来，并且能解决很多作图问题，觉得也是挺有用的，不知道有没有这样的工具，我看很多都能用电脑画出来，还有网友说用CAD就很简单，但我都不懂这些，也没深入去看过。

其妙

回复 9# abababa
正根