求$\max\{4x^2+4y^2,3(x-1)^2+3y^2,x^2+(y-\sqrt3)^2\}$的最小值

天音

设x,y为实数，求$\max\{4x^2+4y^2,3(x-1)^2+3y^2,x^2+(y-\sqrt3)^2\}$的最小值

kuing

配个系数加起来就好了啦，记 $M=\max\bigl\{4x^2+4y^2,3(x-1)^2+3y^2,x^2+\bigl(y-\sqrt3\bigr)^2\bigr\}$，则
\[7M\geqslant 4x^2+4y^2+6(x-1)^2+6y^2+4x^2+4\bigl(y-\sqrt3\bigr)^2
=12+14\left(x-\frac37\right)^2+14\left(y-\frac{2\sqrt3}7\right)^2
\geqslant 12,\]
所以 $M\geqslant 12/7$，当 $x=3/7$, $y=2\sqrt3/7$ 时 $M=12/7$。

天音

怎么配的
能用几何意义解吗？

其妙

怎么配的
能用几何意义解吗？
天音 发表于 2016-9-11 13:10

能用几何意义，加权的Fermat问题吧

天音

回复 4# 其妙


    怎么做？

三尺水

三个式子相等，两个方程解x,y    式子超过3个问题就复杂了

敬畏数学

回复 6# 三尺水
超过三个确实很麻烦。