设$x\in(0,\frac12)$，证明不等式：$\pi(x-x^2)>(1-2x)\tan(\pi x)$

天音

如题

kuing

常规的求导方法就可以了，都是刚刚好的。

令 $f(x)=\pi(x-x^2)-(1-2x)\tan(\pi x)$，则
\[f'(x)=\pi(1-2x)-\pi(1-2x)\sec^2(\pi x)+2\tan(\pi x)
=\tan^2(\pi x)\bigl( 2\cot(\pi x)-\pi(1-2x) \bigr), \]
令 $g(x)=2\cot(\pi x)-\pi(1-2x)$，则
\[g'(x)=-2\pi\csc^2(\pi x)+2\pi=-2\pi\cot^2(\pi x)<0, \]
故 $g(x)>g(1/2)=0$, $f'(x)>0$, $f(x)>f(0)=0$，即得证。

天音

原来是这样，多谢