几道e题

天音

kuing

1、显然 \an 递增，注意到
\[2=\sqrt{1+\sqrt{2^2+\sqrt{2^4+\sqrt{2^6+\cdots +\sqrt{2^{2(k-1)}+\sqrt{2^{2k}+2^{k+1}+1}}}}}},\]
可见 $a_n<2$，所以收敛。

注：那等式之前在《撸题集》第106页撸过。

kuing

2、由 $e^x$ 的级数展开式以及均值，有
\[\sum_{k=0}^n\frac1{k!}-\frac e{2n}
<e-\frac e{2n}<e-\frac e{2n+1}
=\frac{2ne}{n+n+1}
<\frac{ne}{\sqrt{n(n+1)}}
=e\sqrt{\frac n{n+1}},
\]
所以只需证
\[e\sqrt{\frac n{n+1}}<\left(1+\frac1n\right)^n,\]
即
\[\left(1+\frac1n\right)^{n+0.5}>e,\]
这是已知结论，大家应该都见过了吧，我就不证了。

这样看来原不等式有点弱，而且那和式纯吓人……

kuing

3、仍然运用那结论，可以加强右边，对任意正整数 $k$，有
\[\left( 1+\frac1k \right)^k<e<\left( 1+\frac1k \right)^{k+0.5},\]
故
\[\prod_{k=1}^n\left( \frac{k+1}k \right)^k<e^n<\prod_{k=1}^n\left( \frac{k+1}k \right)^{k+0.5},\]
化简为
\[\frac{(n+1)^n}{n!}<e^n<\frac{(n+1)^{n+0.5}}{n!},\]
变形即
\[\left( \frac{n+1}e \right)^n<n!<\sqrt{n+1}\left( \frac{n+1}e \right)^n.\]

天音

牛！
还有一道呢？

天音

顶下，最后一题没人做吗

战巡

回复 6# 天音


原题不好看，不想管
只给结论，懒得证明
\[\frac{1}{n^n}\sum_{k=1}^nk^k=1+\frac{1}{e}·\frac{1}{n}+\frac{2+e}{2e^2}·\frac{1}{n^2}+o(\frac{1}{n^2})\]
或者改成用$n-1$的版本
\[\frac{1}{n^n}\sum_{k=1}^nk^k=1+\frac{1}{e}·\frac{1}{n-1}-\frac{e-2}{2e^2}·\frac{1}{(n-1)^2}+o(\frac{1}{(n-1)^2})\]

天音

好吧，还是谢了

hbghlyj

$ S_{n}=1+2^{2}+3^{3}+\cdots+n^{n}, n \in \mathrm{N}_{+} $
对n>1,
$ n^{n}\left[1+\frac{1}{4(n-1)}\right] \leqslant S_{n}<n^{n}\left[1+\frac{2}{e(n-1)}\right] $