三角求最值,求指教

longma

kuing

题目：

当 $\theta\in[0,2\pi]$ 时，求 $f=\bigl|\sin^2\theta\bigl(
\sin^3(2\theta)\sin^3(4\theta)\sin^3(8\theta)\cdots\sin^3(2^{n-1}\theta)
\bigr)\sin(2^n\theta)\bigr|$ 的最大值。

设
\[f_1(\theta)=\abs{\sin^2\theta \sin(2\theta)},\]
则
\begin{align*}
\bigl( f_1(\theta) \bigr)^2&=\abs{2\sin^3\theta \cos\theta}^2 \\
& =4\sin^6\theta (1-\sin^2\theta) \\
& =\frac43\sin^2\theta \sin^2\theta \sin^2\theta (3-3\sin^2\theta) \\
& \leqslant \frac43\left( \frac{3\sin^2\theta +3-3\sin^2\theta}4 \right)^4 \\
& =\left( \frac34 \right)^3,
\end{align*}
所以对任意 $\theta$ 均有
\[f_1(\theta )\leqslant \frac{3\sqrt3}8,\]
当 $n\geqslant 2$ 时，设
\[f_n(\theta)=\left| \sin^2\theta \cdot \prod_{k=1}^{n-1} \sin^3(2^k\theta)\cdot \sin(2^n\theta) \right|,\]
则
\begin{align*}
f_{n+1}(\theta)&=\left| \sin^2\theta \cdot \prod_{k=1}^n \sin^3(2^k\theta)\cdot \sin(2^{n+1}\theta) \right| \\
& =\left| \sin^2\theta \cdot \prod_{k=1}^{n-1} \sin^3(2^k\theta)\cdot \sin(2^n\theta)\cdot \sin^2(2^n\theta)\sin(2^{n+1}\theta) \right| \\
& =f_n(\theta)f_1(2^n\theta),
\end{align*}
容易验证上式对 $n=1$ 也成立，故此有
\[f_n(\theta)=f_1(2^{n-1}\theta)f_1(2^{n-2}\theta)\cdots f_1(2\theta)f_1(\theta)\leqslant \left( \frac{3\sqrt3}8 \right)^n,\]
又容易验证当 $\theta=60\du$ 时取等，所以上式右边就是 $f_n(\theta)$ 的最大值。

longma

果然精妙！酷版威武！

longma

色k

显然可以

isee

设
\[f_1(\theta)=\abs{\sin^2\theta \sin(2\theta)},\]
则
\begin{align*}
\bigl( f_1(\theta) \bigr)^2&= ...
kuing 发表于 2016-9-16 21:00

看下题目，那图看得眼花花花

$$f_n(\theta)=\left| \sin^2\theta \cdot \left(\prod_{k=1}^{n-1} \sin^3(2^k\theta)\right)\cdot \sin(2^n\theta) \right|$$

kuing

回复 6# isee

嗯，已在二楼补上了原题目的 LaTeX 代码，并且增加了一项 $\sin^3(8\theta)$，因为原题的表达式存在歧义——
注意 $\{2,4,\ldots,2^{n-1}\}$ 可以理解为 $\{2,4,8,16,\ldots,2^{n-1}\}$ 也可以理解为 $\{2,4,6,8,\ldots,2^{n-1}\}$，都是说得过去的。
所以说这题表达得不好，其实最好的方式还是用 $\displaystyle\prod$ 的形式来写。