抛物线y=ax^2与y=e^-x有共同的切线，求a的范围

敬畏数学

抛物线y=ax^2与y=e^-x有共同的切线，求a的范围？

kuing

懒得想代数解法了，下面就很不严谨地用一回数形结合吧。

$a=0$ 显然不行；
$a<0$ 时显然一定有共同切线；
$a>0$ 时，先算临界点，就是两曲线相切时。
设 $f(x)=ax^2$, $g(x)=e^{-x}$，设此两曲线相切于 $(m,am^2)$，则 $g(m)=am^2$ 且 $f'(m)=g'(m)$，由此易得 $m=-2$，即 $a=e^2/4$。
如果增大 $a$，开口收窄，两曲线就由相切变为相交，而且一定是交完再交（即 $y$ 轴左边必有两交点，这是因为指数增长速度比抛物线快），想象一下图象就知道此时也必有共同切线（而且会有两条）。
相反，如果减少 $a$，也不难看出不存在共同切线。
综上，范围就是 $(-\infty,0)\cup\color{red}[e^2/4,+\infty)$。

敬畏数学

回复 2# kuing
确实这道题是一个选择题，就看极端情形即可！请教两曲线相切这个说法有没有比较准确的说法，曲线的切线是有的。

天音

回复 2# kuing

e^2/4 是可以取的，那里应该是中括号 【e^2/4

kuing

回复 4# 天音

O，谢谢提醒，已修改。