向量求最值，3种方法孰优孰劣？孰对孰错？

longma

kuing

第一个解法错，取等要 |b|=|c|=1，而 b*c=1，这只能 b=c，显然不满足已知条件，所以等号取不了。
第二个太麻烦，看最后那个就好了，关键在于一开始的不妨设，设 $\vv a=(1,0)$ 是合理的，不失一般性的，这就大大简化了计算。

kuing

我再给一种方法，不用设坐标，说明题目并不需要“平面向量”这一条件。

由条件得 $\bm a\cdot(\bm b+\bm c-3\bm a)=0$，则
\begin{align*}
\abs{\bm a+\bm b+\bm c}&=\abs{4\bm a+(\bm b+\bm c-3\bm a)} \\
&=\sqrt{(4\bm a)^2+8\bm a\cdot(\bm b+\bm c-3\bm a)+(\bm b+\bm c-3\bm a)^2}, \\
&=\sqrt{16+(\bm b+\bm c-3\bm a)^2} \\
&\geqslant 4,  
\end{align*}
当且仅当 $\bm b+\bm c=3\bm a$ 时取等，不难验证当 $\bm a=(1,0)$, $\bm b=(1,1)$, $\bm c=(2,-1)$ 时满足条件且取等，所以最小值就是 $4$。

longma

好方法

isee

好像写过这个题，至少是类似的题

法1也是见的，补充完整：

关键已知即为：$\boldsymbol a^2=1,\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=1,\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c =2,\boldsymbol b \cdot \boldsymbol c =1$。

而$$\abs {\boldsymbol a +\boldsymbol b +\boldsymbol c}^2=9+\boldsymbol b^2 +\boldsymbol c^2=7+(\boldsymbol {b+c})^2.$$

另一方面：$$3=\abs{\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b +\boldsymbol a \boldsymbol c}=\abs{\boldsymbol a \cdot (\boldsymbol {b+c})}\leqslant \abs{\boldsymbol a}\cdot \abs{\boldsymbol {b+c}}.$$

于是$$9\leqslant \abs{\boldsymbol {b+c}}^2.$$

此时所求最小值为4，此时$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b+\boldsymbol c$共线。

kuing

回复 5# isee

这个也不错，就是这个代码啊怎么不用 \bm ？箭头向量模在 latex 是个坑

isee

回复  isee

这个也不错，就是这个代码啊怎么不用 \bm ？箭头向量模在 latex 是个坑 ...
kuing 发表于 2016-9-20 15:12

    哦，我是看到高低不齐，印象里中，看到有黑体，明显好看多了，所以另一个回复用的\bm

isee

改成粗体了。

走走看看

回复 3#kuing

高，实在是高！
不过，如果不是平面向量，b+c≠3a。

回复 5#isee
这个补充很好，否则，让人感到直接平方就一定不行。
之所以1楼的第一种方法不行，可能是b、c的关系并不纯粹，与a也有关系的缘故。

kuing

回复 3#kuing

高，实在是高！
不过，如果不是平面向量，b+c≠3a。

回复 5#isee
这个补充很好，否则， ...
走走看看 发表于 2017-10-25 16:13

我是说不需要“平面向量”这一条件，它们可以是空间向量，空间向量就不能 b+c=3a 吗？

走走看看

明白了，你是说平面向量也是空间向量的一种。

再请教一个问题：
如何查找自己回复过的帖子？

kuing

回复 11# 走走看看

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走走看看

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谢谢！

游客

回复 3# kuing


    b+c-3a这个向量是怎么想到的？我是这样想的：
题目条件比较多，首先稍微考虑下条件之间的无矛盾性，然后用足4个等号。
│a│=1,a·(a-b)=0,a·(2a-c)=0,(a-b)·(2a-c)=-1.
→(a-b)与(2a-c)方向相反，a+b+c=4a-(a-b)-(2a-c)，
平方之后就是一个图象为双曲线的函数求最值。（俗称对勾函数）
这样，关于│xa+yb+zc│的问题也好处理。

一刀

回复 3# kuing


   太牛了