向量求最值，好像不对！

longma

解：根据条件得， $\overrightarrow{A E}^2=\frac{5}{4}, \overrightarrow{B D}^2=\frac{5}{4}, \overrightarrow{O P}^2=1, \overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B D}=\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}\right) \cdot\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}\right)=$

\[
\begin{aligned}
& 0-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+0=-1 ; \\
& \therefore \overrightarrow{O P}^2=(x \overrightarrow{A E}+y \overrightarrow{B D})^2 \\
& =x^2 \overrightarrow{A E}^2+2 x y \overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B D}+y^2 \overrightarrow{B D}^2 \\
& =\frac{5}{4}\left(x^2+y^2\right)-2 x y \\
& =1 ; \\
& \therefore x^2+y^2=\frac{4}{5}(2 x y+1) \geq 2 x y ; \\
& \therefore \mathrm{xy} \leq 2
\end{aligned}
\]


据题意知， $\mathrm{x}<0, \mathrm{y}<0, \overrightarrow{O C}=(1,1)$ ；

\[
\therefore \vec{a} \cdot \overrightarrow{O C}=x+y=-[(-x)+(-y)] \leq-2 \sqrt{x y} ;
\]


由 $\mathrm{xy} \leq 2$ 得，$\sqrt{x y} \leq \sqrt{2},-2 \sqrt{x y} \geq-2 \sqrt{2}$ ；
$\therefore x+y \leq-2 \sqrt{2}$ ，当且仅当 $x=y=-\sqrt{2}$ 时取＂$="$ ；
$\therefore \vec{a} \cdot \overrightarrow{O C}$ 的最大值为 $-2 \sqrt{2}$ ．
故选：D．

kuing

没细看计算过程，就看后面的逻辑就明显错了，他用 $x+y\le-2\sqrt{xy}$，然后又 $-2\sqrt{xy}\ge-2\sqrt2$，就所以 $x+y\le-2\sqrt2$？明显乱来。

其实这题非常简单，不用任何技巧，设 $P(\cos t,\sin t)$, $t\in[0,\pi/2]$，则
\[(\cos t,\sin t)=x\left(-1,\frac12\right)+y\left(\frac12,-1\right)
=\left(-x+\frac y2,\frac x2-y\right),\]
从而
\[\led
-x+\frac y2&=\cos t,\\
\frac x2-y&=\sin t
\endled
\riff x+y=-2(\cos t+\sin t)\in \bigl[-2\sqrt2,-2\bigr].\]

呐，两下子就把范围搞出来了。

isee

longma 发表于 2016-9-19 09:14

    稀乱的解答

isee

$\led
-x+\frac y2&=\cos t,\\
\frac x2-y&=\sin t
\endled$ ...
kuing 发表于 2016-9-19 20:36

    得到关于t的参数方程和主楼答案第7行结果是一样的，都得到了$5x^2-8xy+y^2=4$，然后求$x+y$，所以我说主楼图片答案后段来写一气。

isee

没细看计算过程，就看后面的逻辑就明显错了，他用 $x+y\le-2\sqrt{xy}$，然后又 $-2\sqrt{xy}\ge-2\sqrt2$ ...
kuing 发表于 2016-9-19 20:36

    坐标法有了，完善下主楼，综合法。

    由已知能得到的（关键）有：$\boldsymbol{AE}^2=5/4=\boldsymbol{BD}^2,\boldsymbol{AE}\cdot \boldsymbol{BD}=-1.$

    题目所求的结果即$x+y$.

    核心条件是$$\boldsymbol {OP}=x\boldsymbol {AE}+y\boldsymbol {BD}.$$

    在此式两边分别同乘以$\boldsymbol {AE}$，$\boldsymbol {BD}$得到：
    $$\frac 54x-y=\boldsymbol{AE}\cdot \boldsymbol{OP}.$$
    $$-x+\frac 54y=\boldsymbol{BD} \cdot \boldsymbol{OP}.$$

    两式相加，并整理得到$$x+y=4\boldsymbol{OP}\cdot (\boldsymbol{AE+BD}).$$

    如图，由向量数量积几何意义（A' 为正方形边的中点），容易求得其范围（这里不求）。

isee

建议：如果楼主从事教育相关行业，学学latex代码，有利无害。

入门十分容易，而一般情况下，入门够用了。

longma

回复 6# isee
嗯，我会学习的。

longma

回复 2# kuing

好方法

longma

回复 3# isee
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