3道较难的不等式

Infinity

首先是两道很强的不等式
1. $a,,b,c$为正实数，且$a^2+b^2+c^2=3$，证明\[\sqrt{a^2+3b^2} + \sqrt{b^2+3c^2} + \sqrt{c^2+3a^2} \geqslant \sqrt{12(a+b+c)}.\]此题最初来自 http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1268163p6614138，至今无人能证。

2. 已知$a,b,c$为非负实数，且$ab+ac+bc≠0$. 求证:\[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab+ca+bc}{a^2+b^2+c^2}}\leq\sqrt{\frac{a^2}{4a^2+5bc}}+\sqrt{\frac{b^2}{4b^2+5ca}}+\sqrt{\frac{c^2}{4c^2+5ab}}\]来自http://bbs.emath.ac.cn/thread-8874-1-2.html

剩下一道求简洁证法：
3. $a,,b,c$为正实数，求证\[\sqrt{\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}}\geqslant \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{3}}\]

天音

消灭零回复，帮你顶下

Infinity

谢谢

睡仙

谁说无人证明，这三个我早整理过了。第一个与第二个都比较难的，一般人就不要浪费时间了。

Infinity

回复 4# 睡仙
拿出足够的证明过程你的话才有信服力，否则只是空话毫无意义。