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kuing
Posted 2016-10-14 00:49
捡个漏，原来还算简单……
记 $f(x,y)=\cos(x^2)+\cos(y^2)-\cos(xy)$。
假设 $f(x,y)=3$，由有界性知只能是 $\cos(x^2)=\cos(y^2)=-\cos(xy)=1$，
因此 $x^2=2k_1\pi$, $y^2=2k_2\pi$, $xy=(2k_3-1)\pi$，其中 $k_i$ 均为整数，
于是 $4k_1k_2=(2k_3-1)^2$，左偶右奇，矛盾！所以不可能取到 $3$。
类似地，假设 $f(x,y)=-3$，则 $x^2=(2k_1-1)\pi$, $y^2=(2k_2-1)\pi$, $xy=2k_3\pi$，
于是 $(2k_1-1)(2k_2-1)=4k_3^2$，左奇右偶，同样矛盾！所以也不可能取到 $-3$。
因此必有 $-3<f(x,y)<3$，下面证明 $(-3,3)$ 就是其值域，
由于 $f(x,y)$ 为连续函数，则只要找到趋于两边的序列即可。
设 $k\inN^+$，一方面，取 $x=\sqrt{2k\pi}$, $y=\sqrt{2(k+1)\pi}$，则 $\cos(x^2)=\cos(y^2)=1$，且
\[
\cos(xy)=\cos\bigl( 2\sqrt{k(k+1)}\pi-2k\pi \bigr)
=\cos\frac{2k\pi}{\sqrt{k(k+1)}+k}
=\cos\frac{2\pi}{\sqrt{1+\frac1k}+1},
\]
可见
\[
\lim_{k\to+\infty}f(x,y)=2-\lim_{k\to+\infty}\cos\frac{2\pi}{\sqrt{1+\frac1k}+1}=3;
\]
另一方面，取 $x=\sqrt{(2k-1)\pi}$, $y=\sqrt{(2k+1)\pi}$，则 $\cos(x^2)=\cos(y^2)=-1$，且
\[
\cos(xy)=\cos\bigl( \sqrt{4k^2-1}\pi-2k\pi \bigr)=\cos\frac\pi{\sqrt{4k^2-1}+2k},
\]
可见
\[
\lim_{k\to+\infty}f(x,y)=-2-\lim_{k\to+\infty}\cos\frac\pi{\sqrt{4k^2-1}+2k}=-3.
\]
综上所述，$f(x,y)$ 的值域就是 $(-3,3)$。 |
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敬畏数学
Posted 2016-10-19 08:30
