六点共圆

天音

△ABC中，D、D'是BC边上的两点，E、E'是CA边上的两点，F、F'是AB边上的两点，且D、D'、E、E'四点共圆，E、E'、F、F'四点共圆，F、F'、D、D'四点共圆。求证D、D'、E、E'、F、F'六点共圆。

abababa

回复 1# 天音

可以用根心来做，因为$\odot(D,D',E,E')$和$\odot(E,E',F,F')$的根轴是$EE'$，也就是$CA$，同理三个圆的根轴分别是$AB,BC,CA$，两两交于三个不同的点$A,B,C$，这与三个圆的根轴只能互相平行或共点矛盾，所以实际上必定有两个圆是重合的，也就是六点共圆了。

天音

回复 2# abababa


    好方法，学习了！