已知球外一点光源能照射到该球的三分之一表面

天音

已知球外一点光源能照射到该球的三分之一表面，求该点到球心的距离与球半径之比。

abababa

就是用球冠的面积来算吧。不妨设球的半径是$1$，然后设球心是$O$，点光源是$S$，然后画个平面图，球冠的面积是$2\pi\cdot SC$，等于$\frac{4\pi}{3}$，解得$SC=\frac{2}{3}$，然后用$OA^2=OC\cdot OS=OC(OC+\frac23)$能算出$OC=\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，最后算出$\frac{OS}{OA}=\frac{OA}{OC}=\frac{3}{\sqrt{10}-1}$

天音

回复 2# abababa

球冠面积怎么推的？

敬畏数学

球冠？？？

天音

百度了下，公式和上面的不同，而且都是这样推的：

baike.baidu.com/view/2758071.htm
按照这个公式来算，比例是1:3才对。

但是我有点不明白，为什么面积微元是dS=2πr*Rdθ？是近似为圆柱？这近似合理吗？

色k

但是我有点不明白，为什么面积微元是dS=2πr*Rdθ？是近似为圆柱？这近似合理吗？
天音 发表于 2016-9-27 21:51

不是近似为圆柱，而是近似为圆台，注意圆台的侧面积公式：$S=\pi(r+r')l$，其中 $r$, $r'$ 是两底面半径，$l$ 是母线长，当 $l$ 很小时 $r'$ 和 $r$ 接近，所以可以近似为 $2\pi rl$。

还可以这样推，将圆台补成母线长为 $L$ 的圆锥，则圆台的侧面积为大小两圆锥侧面积之差，即
\[S=\pi rL-\pi \frac{L-l}{L}r(L-l)=2\pi rl-\pi r\frac{l^2}{L},\]
因此当 $l$ 很小时，$2\pi rl$ 是 $S$ 的线性主部，后面的就可以忽略了。

天音

回复 6# 色k


    哦，我懂了，多谢
结论真漂亮，球冠与球的面积比恰好就是球冠高与直径之比！好神奇！

kuing

回复 7# 天音

体积就没那么漂亮了，顺便也写一下吧
\[V=\int_0^H\pi\bigl(R^2-(R-H+h)^2\bigr)\rmd h=\frac13\pi H^2(3R-H),\]
当然你也可以用面积来推体积，减掉那个圆锥就行，即
\[V=\frac13RS-\frac13\pi\bigl(R^2-(R-H)^2\bigr)(R-H)=\frac13\pi H^2(3R-H).\]

abababa

回复 3# 天音

我也没用积分来推，就直接看的公式

天音

回复 9# abababa


    你不修改一下2楼吗

abababa

回复 10# 天音
其实我不太喜欢做这个题，觉得知道公式就能算了，没什么意思。

天音

回复 11# abababa


    哦，好的