一道不等式恒成立解法正确吗？

敬畏数学

题：xln（x-1）>a(x-2),当x>2时恒成立，求a的范围；
解：设f（x）=xln（x-1）-a（x-2），x>2,
当f（x）在定义域上为增函数时，易求得a<=2,满足题意。
当a>2时，易知f“（2）<0,由导数的几何意义知，必定有m>2,当x∈（2，m）时，f（x）<0,不合题意，舍去！
故a<=2为所求。

色k

题：xln（x-1）>a(x-2),当x>2时恒成立，求a的范围；
解：设f（x）=xln（x-1）-a（x-2），x>2,
当f（x）在定义域上为增函数时，易求得a<=2,满足题意。
当a>2时，易知f“（2）<0,由导数的几何意义知，必定有m>2,当x∈（2，m）时，f（x）<0,不合题意，舍去！
故a<=2为所求。
敬畏数学 发表于 2016-9-27 22:11

你这里写的是双引号？二阶导数？

敬畏数学

回复 2# 色k
哦，搞错，一阶。

色k

一阶的话如果计算没错那就是没问题了呗

敬畏数学

此题与四川那题比，级别低很多啊！！！

天音

“由导数的几何意义知”这种说法不严谨吧，我觉得应该要证明一下

敬畏数学

回复 6# 天音
是的。我也觉得这样是不严谨的。如何证明呢？在中学范围内哦。。。

天音

回复 7# 敬畏数学


    不用点高数知识点恐怕不行

敬畏数学

接前面的，当a>2时，首先，证明：ln(x-1)<=x-2,(x>2),所以xln（x-1）<x(x-2),
xln(x-1)-a(x-2)<x(x-2)-a(x-2)=(x-2)(x-a),显然当x∈（2，a）时，
(x-2)(x-a)<0，即f（x）<0,不合题意舍去！

kuing

回复  天音
是的。我也觉得这样是不严谨的。如何证明呢？在中学范围内哦。。。 ...
敬畏数学 发表于 2016-9-28 16:51

要在中学范围内严格地证明那个结论不太可能，这主要是因为教材讲导数前居然没有讲极限什么的先，缺少基础理论的支持，当寻根问底时就难免没法说清楚了。

如果教材有极限定义，哪怕只是介绍一下，那下面的简单证明就能被中学生接受了。

定理：已知 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f'(x_0)=A>0$，则存在 $\delta>0$ 使得对任意 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 恒有 $f(x)>f(x_0)$，对任意 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 恒有 $f(x)<f(x_0)$。

证明：根据导数定义，有
\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=A,\]
根据极限定义，对任意 $\veps>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $x$ 满足 $0<\abs{x-x_0}<\delta$ 时恒有
\[\left| \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-A \right|<\veps,\]
因为 $\veps$ 可以是任意正数，所以可以令 $\veps=A$，由此得到
\[\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0,\]
可见结论成立。

敬畏数学

回复 10# kuing
嗯！正是这个意思，太棒了。看来用的话还是有些野蛮啊，还是慎用吧。不过现在看到很多解答用很多无法说清或者模糊的知识，我觉得还是慎重，这恐怕不是“作者”的意图。

蛋疼的青春

\begin{aligned}
& g(x)=x \ln (x-1)-a(x-2) \\
& g'(x)=\ln (x-1)+\frac{x}{x-1}-a \\
& g''(x)=\frac{x-2}{(x-1)^2} \\
& x>2 \Rightarrow g^{\prime \prime}(x)>0 \Rightarrow g^{\prime}(x) \uparrow \Rightarrow g^{\prime}(x)>2-a \\
& \therefore a \leq 2 \Rightarrow g^{\prime}(x)>0 \Rightarrow g(x) \uparrow \Rightarrow g(x)>g(2)=0 \\
& a>2 \Rightarrow \exists x_0>2, g^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0 \Rightarrow x \in\left(2, x_0\right), g^{\prime \prime}(x)<0 \Rightarrow x \in\left(2, x_0\right), g^{\prime}(x)<0 \\
& \Rightarrow x \in\left(2, x_0\right), g(x) \downarrow \Rightarrow g\left(x_0\right)<g(2)=0
\end{aligned}

天音

回复 12# 蛋疼的青春


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