对称点共圆

天音

已知四边形ABCD的对角线互相垂直且相交于E，P、Q、R、S分别为E相对于AB、BC、CD、DA的对称点，求证P、Q、R、S四点共圆。

abababa

没用平几的证明，用了代数方法。
设$A,B,C,D$的坐标分别是$A(0,a),B(b,0),C(0,c),D(d,0)$，也就是以$BD$所在直线为$x$轴，$AC$所在直线为$y$轴，$E$为原点建立的直角坐标系。
然后$AD$的方程就是截距式$\frac{x}{d}+\frac{y}{a}=1$，设点$S$的坐标是$(m,n)$，可以根据$ES$的中点在$AD$上列一个方程，再根据$ES$的斜率与$AD$的斜率之积是$-1$，能列另一个方程，解出$S$的坐标是$(\frac{2a^2d}{d^2+a^2},\frac{2ad^2}{d^2+a^2})$，其它的$P,Q,R$点的坐标都是类似的，只要比较截距式列出的方程表达式，就能直接写出来了。$R(\frac{2c^2d}{c^2+d^2},\frac{2cd^2}{c^2+d^2}),Q(\frac{2c^2b}{c^2+b^2},\frac{2cb^2}{c^2+b^2}),P(\frac{2a^2b}{a^2+b^2},\frac{2ab^2}{a^2+b^2})$。

最后计算行列式：
$\begin{vmatrix}
S_x&S_y&S_x^2+S_y^2&1\\
P_x&P_y&P_x^2+P_y^2&1\\
Q_x&Q_y&Q_x^2+Q_y^2&1\\
R_x&R_y&R_x^2+R_y^2&1
\end{vmatrix}$，这个我用了软件算，结果是$0$，说明四点共圆。

abababa

实际上行列式就是下面的这个：
$\begin{vmatrix}
\frac{2 a^2 d}{a^2+d^2} & \frac{2 a d^2}{a^2+d^2} & \frac{4 a^2 d^2}{a^2+d^2} & 1 \\
\frac{2 c^2 d}{c^2+d^2} & \frac{2 c d^2}{c^2+d^2} & \frac{4 c^2 d^2}{c^2+d^2} & 1 \\
\frac{2 b c^2}{b^2+c^2} & \frac{2 b^2 c}{b^2+c^2} & \frac{4 b^2 c^2}{b^2+c^2} & 1 \\
\frac{2 a^2 b}{a^2+b^2} & \frac{2 a b^2}{a^2+b^2} & \frac{4 a^2 b^2}{a^2+b^2} & 1
\end{vmatrix}$，可能有简单的线性代数的方法算吧，结果是$0$。

player1703

如图, 由对称易得$AP=AE=AS$. 所以$A$是$\triangle EPS$的外接圆圆心. 同理可证$B, C, D$ 分别是$\triangle EPQ, \triangle EQR, \triangle ERS$的外接圆圆心.
$AE\perp BD. BD$切$\odot A$于$E$. $\angle EPS = \angle DES$. 同理$\angle ERS = \angle AES.\angle EPS + \angle ERS = \angle DES + \angle AES = \angle AED = 90\du$
同理可证 $\angle EPQ + \angle ERQ = 90\du$.
$\angle QPS + \angle QRS = \angle EPS + \angle EPQ + \angle ERQ + \angle ERS = 90\du + 90\du = 180\du $
$\therefore P, Q, R, S$ 四点共圆.

天音

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    nice!

abababa

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好！学习了。

天音

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    你的代数解法看起来也很高大上（虽然我不懂

kuing

实际上行列式就是下面的这个：
$\begin{vmatrix}
\frac{2 a^2 d}{a^2+d^2} & \frac{2 a d^2}{a^2+d^2} & \frac{4 a^2 d^2}{a^2+d^2} & 1 \\
\frac{2 c^2 d}{c^2+d^2} & \frac{2 c d^2}{c^2+d^2} & \frac{4 c^2 d^2}{c^2+d^2} & 1 \\
\frac{2 b c^2}{b^2+c^2} & \frac{2 b^2 c}{b^2+c^2} & \frac{4 b^2 c^2}{b^2+c^2} & 1 \\
\frac{2 a^2 b}{a^2+b^2} & \frac{2 a b^2}{a^2+b^2} & \frac{4 a^2 b^2}{a^2+b^2} & 1
\end{vmatrix}$，可能有简单的线性代数的方法算吧，结果是$0$。
abababa 发表于 2016-9-28 08:53

确实可以用行列式性质算，各行提东西，然后相减
\begin{align*}
&=\frac{b^2d^2}{\prod(a^2+b^2)}
\begin{vmatrix}
2ca & 2cd & 4cad & \dfrac{c(a^2+d^2)}{ad} \\
2ac & 2ad & 4acd & \dfrac{a(c^2+d^2)}{cd} \\
2ac & 2ab & 4acb & \dfrac{a(c^2+b^2)}{cb} \\
2ca & 2cb & 4cab & \dfrac{c(a^2+b^2)}{ab}
\end{vmatrix}\\
&=\frac{b^2d^2}{\prod(a^2+b^2)}
\begin{vmatrix}
2ca & 2cd & 4cad & \dfrac{c(a^2+d^2)}{ad} \\
0 & 2(a-c)d & 0 & \dfrac{d(a^2-c^2)}{ac} \\
0 & 2(a-c)b & 0 & \dfrac{b(a^2-c^2)}{ac} \\
2ca & 2cb & 4cab & \dfrac{c(a^2+b^2)}{ab}
\end{vmatrix},
\end{align*}
中间两行成比例了，所以为零。

isee

没用平几的证明，用了代数方法。
设$A,B,C,D$的坐标分别是$A(0,a),B(b,0),C(0,c),D(d,0)$，也就是以$BD$所 ...
abababa 发表于 2016-9-28 08:39

    任四点S,P,Q,R共圆的充要条件一般写这样$$\begin{vmatrix}
S_x^2+S_y^2&S_x&S_y&1\\
P_x^2+P_y^2&P_x&P_y&1\\
Q_x^2+Q_y^2&Q_x&Q_y&1\\
R_x^2+R_y^2&R_x&R_y&1
\end{vmatrix}=0$$

abababa

回复 7# 天音
在很多解析几何的书里都写了这个结论，就是四点坐标构成的四阶行列式为零，是四点共圆的充要条件。比如《解析几何的技巧》，《数学解题词典解析几何卷》等等，都有具体的证明。

回复 8# kuing
果然是能化简的，我都不熟悉，直接用了软件计算。

回复 9# isee
都是一样的，结果是零交换行列都不影响。

kuing

回复 10# abababa

我也不算熟悉，只会最基本的方法……