求数列：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,……的通项

isee

将老论坛的老帖转载过来。

题目：

求通项公式：
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,……

isee

答(by kuing)：

$$a_{n}=\left\lceil \frac{\sqrt{8n+1}-1}{2} \right\rceil.$$

想法很简单，构造一个函数，使得对应每串相同数的最后一个位置，而且单增，然后再向上取整就行了。

具体地，记最后一个$k$在该数列中的第$f(k)$项中，那么$f(1)=1，f(2)=3，f(3)=6$等等，容易求出$$f(k)=\frac{k(k+1)}{2},$$

故我们要构造的是使 $a_{k(k+1)/2}=k$的单增函数（数列），令 $n=k(k+1)/2$，反解出$$k=\frac{\pm\sqrt{8n+1}-1}{2},$$


显然应取正者，然后向上取整，即得$$a_{n}=\left\lceil \frac{\sqrt{8n+1}-1}{2} \right\rceil.$$

isee

老帖二楼的内容就不转了，不过，进一步可以得到在$$\left[\frac{\sqrt{8n+1}-1}{2},\frac{\sqrt{8n-7}+1}{2}\right].$$

内必有惟一整数存在。

isee

此方法可以解决,2003年全国卷压轴题

天音

回复 4# isee


    怎么用啊？

三尺水

应该可以用三角函数或虚数表示准确的通项

青青子衿

1. Table[Floor[Sqrt[2 i] + 1/2], {i, 10}]
2. Table[Ceiling[(Sqrt[1 + 8 i] - 1)/2], {i, 10}]

Copy the Code

Mark一下
oeis.org/A002024

数列「1，2，2，3，3，3，...」的通项公式是什么？
zhihu.com/question/25045244/answer/1140740921