三角不等式

天音

kuing

由加权均值有
\[\sin^{x+1}a+x\sin^{x+1}b\geqslant (x+1)\sin a\sin^xb, \]
得到
\[\frac{\sin^{x+1}a}{\sin^xb}\geqslant (x+1)\sin a-x\sin b, \]
同理
\[\frac{\cos^{x+1}a}{\cos^xb}\geqslant (x+1)\cos a-x\cos b, \]
所以
\begin{align*}
\frac{\sin^{x+2}a}{\sin^xb}+\frac{\cos^{x+2}a}{\cos^xb}
&\geqslant (x+1)\sin^2a-x\sin a\sin b+(x+1)\cos^2a-x\cos a\cos b \\
&=x+1-x\cos(a-b) \\
&=1+2x\sin^2\frac{a-b}2.
\end{align*}

kuing

再给一个较麻烦的证明。

令
\begin{align*}
f(x)&=\frac{\sin^{x+2}a}{\sin^xb}+\frac{\cos^{x+2}a}{\cos^xb} -1-2x\sin^2\frac{a-b}2 \\
&=\sin^2a\left( \frac{\sin a}{\sin b} \right)^x+\cos^2a\left( \frac{\cos a}{\cos b} \right)^x-1-x+x\cos(a-b),
\end{align*}
显然 $f(0)=0$，只需证明 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调增即可。

注意到指数函数一定是下凸函数，由此可知 $f(x)$ 必为下凸函数（当然你也可以计算二阶导数来看看），于是只需证明 $f'(0)\geqslant 0$ 即可，计算可知
\[f'(0)=\sin^2a\ln\frac{\sin a}{\sin b}+\cos^2a\ln\frac{\cos a}{\cos b}-1+\cos (a-b),\]
固定 $a$，将 $f'(0)$ 看成关于 $b$ 的函数 $g(b)$，则
\begin{align*}
g'(b)&=-\sin^2a\frac{\cos b}{\sin b}+\cos^2a\frac{\sin b}{\cos b}+\sin(a-b) \\
&=\frac{\sin(b-a)\sin(b+a)}{\sin b\cos b}+\sin(a-b) \\
&=\sin(b-a)\frac{2\sin(b+a)-\sin2b}{\sin2b},
\end{align*}
因为
\[2\sin(b+a)\geqslant 2\sin(b+a)\cos(b-a)=\sin2b+\sin2a>\sin2b,\]
故此，当 $b<a$ 时 $g'(b)<0$，当 $b>a$ 时 $g'(b)>0$，所以 $g(b)\geqslant g(a)=0$，即 $f'(0)\geqslant 0$，得证。

天音

一个巧证，一个强证，牛！