P是正方形ABCD的内切圆上一点，∠APC=a,∠BPD=b，则tan²a+tan²b=

天音

如题

kuing

用代数方法倒是很简单直接，几何解法有空再想。

不妨设圆半径为 $1$，建系使四顶点为 $(\pm1,\pm1)$，设 $P(x,y)$，则由夹角公式有
\begin{align*}
\tan^2a&=\left( \frac{\frac{y-1}{x-1}-\frac{y+1}{x+1}}{1+\frac{y-1}{x-1}\cdot \frac{y+1}{x+1}} \right)^2=\left( \frac{2x-2y}{x^2+y^2-2} \right)^2=4(x-y)^2=4-8xy, \\
\tan^2b&=\left( \frac{\frac{y-1}{x+1}-\frac{y+1}{x-1}}{1+\frac{y-1}{x+1}\cdot \frac{y+1}{x-1}} \right)^2=\left( \frac{2x+2y}{x^2+y^2-2} \right)^2=4(x+y)^2=4+8xy,
\end{align*}
所以 $\tan^2a+\tan^2b=8$。

isee

用代数方法倒是很简单直接，几何解法有空再想。

不妨设圆半径为 $1$，建系使四顶点为 $(\pm1,\pm1)$，设 $ ...
kuing 发表于 2016-10-7 02:30

这一看就是竞赛题填空题，取个特殊点，完事。

至于平几，怕是有难度。

kuing

回复 3# isee

用余弦定理也可以解决，只是比较麻烦，晚点再写，煮饭先

kuing

还好晚点再写，有了时间作优化，发现原来一点也不麻烦。

首先我们推导一条公式：在 $\triangle ABC$ 中，中线 $AD=m_a$，$\angle ADC=\theta$，由余弦定理、面积公式及中线公式，有
\[
\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{2S}{bc\cos A}=\frac{4S}{b^2+c^2-a^2}=\frac{2am_a\sin\theta}{2m_a^2+\frac{a^2}2-a^2}=\frac{4am_a\sin\theta}{4m_a^2-a^2}.\]



回到原题，在 $\triangle PAC$ 中，因为 $AC=2\sqrt2PO$，根据上述公式，即得 $\tan\angle APC=-2\sqrt2\sin\angle POA$，同理 $\tan\angle BPD=-2\sqrt2\sin\angle POB$，从而
\[
\tan^2\angle APC+\tan^2\angle BPD=8(\sin^2\angle POA+\sin^2\angle POB)=8.
\]

kuing

煮饭前之所以说麻烦，是因为当时研究 tanA 的中线表达式时是用 $\tan^2A=1/\cos^2A-1$，余弦定理后对 $b^2$, $c^2$ 再次余弦定理，兜了个大弯，直到刚才一想到用面积瞬间就简化了。
这解法显然比前面的代数解法更好，因为还不小心收获得一条公式。

isee

还好晚点再写，有了时间作优化，发现原来一点也不麻烦。

首先我们推导一条公式：在 $\triangle ABC$ 中， ...
kuing 发表于 2016-10-7 22:10

确实漂亮

isee

半平几半解几，比较难看的“算法”——






点E为三角形BPD的外心，则$\tan^2 BPD=\tan^2 OEB=4(\sin\theta-\cos\theta)^2$，同理算出另一正切平方值，将前式中的“+”改“-”即可。

所以所求和为8。

kuing

回复 8# isee

$\tan^2 OEB=4(\sin\theta-\cos\theta)^2$ 是怎么推出来的？

isee

回复  isee

$\tan^2 OEB=4(\sin\theta-\cos\theta)^2$ 是怎么推出来的？
kuing 发表于 2016-10-8 19:46

解几求外心坐标，然后，直角三角形BOE中求边长及直角三角形中正切定义（没有夹角公式，现行课本删除此公式）。

不过，要根据你求的结果，我可能求（写）反了。。。。。。。

天音

回复 5# kuing


    确实非常漂亮的解法！学习了！！！

天音

解几求外心坐标，然后，直角三角形BOE中求边长及直角三角形中正切定义（没有夹角公式，现行课本删除此公 ...
isee 发表于 2016-10-8 22:19

    用EP=EB来求E吗？