请教一函数问题

陈习晖

问题：若ln（x+1)<ax在x>0时恒成立，求a范围？该命题能否等价于“ln（x+1)<=ax在x>=0时恒成立，求a范围”？说明原因

kuing

用分离参数来看就比较清楚了。

前者等价于 ln(x+1)/x<a 在 x>0 时恒成立；

后者当 x=0 时左右相等，不等式恒成立，故此等价于 ln(x+1)/x<=a 在 x>0 时恒成立。

两个等价式只差一个等号，可见除非 ln(x+1)/x 在 (0,+oo) 上存在最大值，两者才不等价，除此之外有没有等号都是一样的。事实上 ln(x+1)/x < 1 且 x->0+ 时 ln(x+1)/x -> 1，确实没有最大值，所以是等价的。