求\(y=2(cosx)^2+(sinx+cosx)^2-sin2x\times cos2x\)的範圍

ta5607

\(y=2(cosx)^2+(sinx+cosx)^2-sin2x\times cos2x\)

\(0\leq x \leq  \pi\)

求y的最大值&最小值

敬畏数学

回复 1# ta5607
貌似很简单哦。平方式展开。一下就变成sinx+cosx,及sinx*cosx的形式。

kuing

嗯，是简单题
\[y=1+\cos2x+1+\sin2x-\sin2x\cos2x=3-(1-\sin2x)(1-\cos2x),\]
所以 $y\leqslant3$，当 $x=0$, $\pi/4$, $\pi$ 时均能取等；另一方面，由均值有
\[y\geqslant3-\frac{(2-\sin2x-\cos2x)^2}4\geqslant3-\frac{\bigl(2+\sqrt2\bigr)^2}4=\frac32-\sqrt2,\]
当 $x=5\pi/8$ 时取等。