来自人教群的一道小数部分恒等式题

kuing

设 $n$ 是一个正整数，$a$ 是与 $n$ 互质的正整数，$b$ 是任意整数，求证：\[\left\{ \frac bn \right\}+\left\{ \frac{a+b}n \right\}+\left\{ \frac{2a+b}n \right\}+\cdots +\left\{ \frac{(n-1)a+b}n \right\}=\frac{n-1}2.\]

以下所设变量全在整数范围内取值。

先证明，对于任意满足 $0\leqslant k<p<n$ 的 $k$, $p$，恒有
\[\left\{ \frac{ka+b}n \right\}\ne \left\{ \frac{pa+b}n \right\},\]
用反证法，假设上式两边相等，则必存在 $m$ 使
\[\frac{pa+b}n=\frac{ka+b}n+m,\]
即
\[(p-k)a=mn,\]
由于 $(a,n)=1$，则必有 $n\mid(p-k)$，这显然与 $0\leqslant k<p<n$ 矛盾。

接下来，我们考查以下 $n$ 个数
\[\left\{ \frac bn \right\},\left\{ \frac{a+b}n \right\},\left\{ \frac{2a+b}n \right\},\ldots,\left\{ \frac{(n-1)a+b}n \right\},\]
显然，它们每一个的值都属于集合 $\{0,1/n,2/n,\ldots,(n-1)/n\}$，而由前面所证的可知，它们的值全不相同，所以它们跟该集合里的元素一一对应，所以
\[\left\{ \frac bn \right\}+\left\{ \frac{a+b}n \right\}+\left\{ \frac{2a+b}n \right\}+\cdots +\left\{ \frac{(n-1)a+b}n \right\}=0+\frac1n+\frac2n+\cdots +\frac{n-1}n=\frac{n-1}2.\]

地狱的死灵

a与n互质，则b,a+b,2a+b,……,(n-1)a+b就是n的完全剩余系。
这个定理直接拿来用就行了

kuing

回复 2# 地狱的死灵

不太了解这些概念和定理，只能即想即推即用了……

南飞雁2013

嘿嘿，kuing很好很强大，就是有点麻烦。2楼正解！

其妙

回复 4# 南飞雁2013
人家能独立的把这个定理再发现并证明一遍，