一道关于单位圆覆盖直角三角形问题

敬畏数学

三角形三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点的个数最多为多少？
希望能规范解答，就是大伙说得那啥啊。。。。。嘻嘻。。。

kuing

《撸题集》P532 题目 4.7.28，不过也不算什么规范解答了呵呵……

敬畏数学

谢谢！确实《题集》》中的此题解答（仅此题哦）有点遗憾，望高手出招再规范些！谢先。

realnumber

内切圆半径正好为1，移动这个圆，总能到达任何位置.
1.四点显然可以
2.与其中一条边相离，最多4个公共点，接下来考虑与三边都有公共点.
3.与直线有公共点，那么圆心只能在两平行线间的带状区域（平行线与此直线距离为1），试着画出3,4,5直角三角形的三边带状区域，发现只有公共点内心。
因此1.才是最多的.
----也不晓得规范点了没？

realnumber

证明该怎么写，写到什么程度？
1楼也许要一个详细的推理过程.
4楼1.还是在用显然，而没解释
用带状区域这个角度，但还是不想写为什么只有一个公共点。当然，其它角度应该有吧.

敬畏数学

昨天一个好学的后生问此问题！卡壳了。。。。

kuing

实在这么想“规范”的话干脆写成代数法吧……

将三角形放于直角坐标系中，使 $A(0,0)$, $B(3,0)$, $C(0,4)$，则 $BC$ 边所在直线为 $4x+3y-12=0$。
设半径为 $1$ 的圆的圆心为 $(a,b)$，则此点到三边的距离分别为 $d_1=\abs a$, $d_2=\abs b$, $d_3=\abs{4a+3b-12}/5$，

由于圆与直线最多两个公共点，假设圆与三边共有五个或六个公共点，那么至少与两边相交，另一边相切或相交，也就是说 $d_1$, $d_2$, $d_3$ 中至少两个 $<1$，另一个 $\leqslant1$，因此必有 $4d_1+3d_2+5d_3<4+3+5=12$，然而，由绝对值不等式，有 $4d_1+3d_2+5d_3=4\abs a+3\abs b+\abs{4a+3b-12}\geqslant \abs{4a+3b+12-4a-3b}=12$，矛盾！所以不可能有五个或六个公共点。

而当 $a=b=0.99$ 时易证有四个公共点，所以最多四个。

敬畏数学

回复 7# kuing

isee

实在这么想“规范”的话干脆写成代数法吧……

将三角形放于直角坐标系中，使 $A(0,0)$, $B(3,0)$, $C(0,4) ...
kuing 发表于 2016-11-25 22:56

本一道 小题 硬 是被你解成大题了，初一看，吓人~

kuing

回复 9# isee

没办法，本来我就是小题小解，硬要“规范解”只好当大题来写了