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kuing
Posted 2016-11-8 03:02
先证明当 $k\geqslant 4$ 时是满足题意的。
不妨设 $a>b>c>d\geqslant k\geqslant 4$，取 $(p,q,r,s)=(a,d,b,c)$，方程为
\[(x^2+ax+d)(x^2+bx+c)=0,\]
因为 $a^2-4d>(a-4)d>0$, $b^2-4c>(b-4)c>0$，所以上式两个括号内均有两个不相等的实数根，那么只需证明它们没有共同的根即可。
假设 $x_0$ 是它们的共公根，即
\[x_0^2+ax_0+d=x_0^2+bx_0+c=0,\]
由于 $a$, $b$, $c$, $d$ 都是正的，则 $x_0$ 必定是负的，于是 $ax_0<bx_0$, $d<c$，显然与上式矛盾！所以一定不存在共公根，即 $k\geqslant 4$ 时是满足题意的。
再证明 $k<4$ 是不满足题意的。
当 $k<4$ 时，显然存在足够小的 $\veps>0$ 以及 $a$, $b$, $c$, $d\in (4-3\veps,4-2\veps)$ 且 $a>b>c>d\geqslant k$，可设 $a=4-t$, $b=4-u$, $c=4-v$, $d=4-w$, $t$, $u$, $v$, $w\in (2\veps,3\veps)$，则
\[a^2-4b=-8t+t^2+4u<-16\veps+9\veps^2+12\veps=\veps(9\veps-4),\]
由于 $\veps$ 足够小，上式右边为负，所以 $a^2<4b$，其他情况同理，所以此时无论怎么排列方程都无实根。
综上所述，$k$ 的最小值为 $4$。
希望没问题[得意] |
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isee
Posted 2016-11-8 17:32
