a≥0，b≥0，a+b≤1，求$2^a+2^b-2^{a+b}$的极值和最值

踏歌而来

a≥0，b≥0，a+b≤1，求$2^a+2^b-2^(a+b)$的极值和最值

最近看到一道数学题，需要确定$2^a+2^b-2^{a+b}$的最大值为1，不知道如何确定才符合逻辑。
另外，有无最小值，有无极值，也不知道。
请大家赐教！

kuing

很容易啊

一方面
\[2^a+2^b-2^{a+b}=1-(2^a-1)(2^b-1)\leqslant 1,\]
当 $ab=0$ 时取等，所以最大值为 $1$；

另一方面，令 $t=\sqrt{2^{a+b}}\in \bigl[1,\sqrt2\bigr]$，则
\[2^a+2^b-2^{a+b}\geqslant 2\sqrt{2^a\cdot 2^b}-2^{a+b}
=2t-t^2=1-(t-1)^2\geqslant 1-\bigl(\sqrt2-1\bigr)^2=2\sqrt2-2,\]
当 $a=b=1/2$ 时取等，所以最小值为 $2\sqrt2-2$。


PS、$2^{a+b}$ 的TeX代码是 2^{a+b} ，而不是 2^(a+b)

踏歌而来

要是把$2^a+2^b-2^{a+b}$与1移到一边，用比较法就可以了，当时没有想到。
谢谢大师！

敬畏数学

挺吓人的一题，其实设2^a=x>=1,2^b=y>=1,那么就容易了，关键是最值等号小心点就可以了。