y=1/x在（-无穷，0）∪（0，+穷）为减函数？

敬畏数学

我们知道是错误的，但原因呢？高手解释下。。。

Infinity

如果理解并集的意思，就不会问这个问题。

敬畏数学

回复 2# Infinity
可能你误解了。

Infinity

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    把∪改成“和”，那就是对的。现在你理解没？

realnumber

单调性本来就要求在区间上，而不是一些区间的并集上.
1楼不引起误会的情况下，据说某些大学课本是这样写的.

realnumber

1楼原因，当然是代入定义检验.符合就是，不符合就不是.

Infinity

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    不同意你的说法，单调性指的是函数在自变量变化时的性态——自然，自变量的变化范围就是原象的范围，也就是一个集合而已，但并集也是一个集合。如果说并集不对，那么试想一下：假设一个函数在实数R上单调，那么在整数Z上同样单调（代入定义检验符合），这里整数Z可以看成孤立的整数点的并集，这难道有问题吗？另外，有理数稠密但不能填充实数轴，有理数和无理数并集就是实数，说实数R上单调难道有问题？

敬畏数学

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In a way,you're right!

战巡

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为什么这样的问题能纠结这么久？
按照定义这不是很显然的么？某函数$f(x)$在一集合$A\subseteq R$上单调递减的充要条件为：若$x_1,x_2\in A$， 有$x_1\le x_2$时$f(x_1)\ge f(x_2)$

如此如果你这里选集合$A=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，那我只要选$x_1=-1,x_2=1$，很显然就是个反例了
但如果表述为$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$，则代表$f(x)$在$A_1=(-\infty,0)$和$A_2=(0,+\infty)$上分别单调递减，这就没有问题