请教：又一道两变量 2x^2+y^2+2xy=1,求x^2+y^2的范围

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2x^2+y^2+2xy=1,求x^2+y^2的范围？
用三角换元可以求出。看高手能否用不等式（如均值，柯西等等）解决，谢谢！

kuing

均值：\[-\frac{\sqrt5+1}2x^2-\frac2{\sqrt5+1}y^2\leqslant 2xy\leqslant \frac{\sqrt5-1}2x^2+\frac2{\sqrt5-1}y^2,\]下略。

kuing

柯西：
令 $z=x+y$，则 $x^2+z^2=1$，且
\[x^2+y^2=x^2+(z-x)^2=\frac12(x^2-z^2)-2xz+\frac32(x^2+z^2),\]
由柯西，有
\[\left( \frac12(x^2-z^2)-2xz \right)^2\leqslant \left( \frac1{2^2}+1^2 \right)\bigl( (x^2-z^2)^2+(-2xz)^2 \bigr)=\frac54(x^2+z^2)^2,\]
所以
\[-\frac{\sqrt5}2+\frac32\leqslant x^2+y^2\leqslant \frac{\sqrt5}2+\frac32,\]
取等略。

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回复 2# kuing I
I see！THS。学习了。

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回复 3# kuing
柯西转太快了，只有后续继续学习！

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回复 5# 敬畏数学
看来此题的系数可以随意，呵呵！太。。。