利用基本不等式得不到正确结果

踏歌而来

k∈（0,1），证明$\frac{1}{k}+\frac{1}{4(1-k)}≥\frac{9}{4}$
利用基本不等式得不到这个结果。

Infinity

因为$k\in(0,1)$，故 $k>0,\;1-k>0$.
由柯西不等式得\[\frac{1^2}{k}+\frac{(1/2)^2}{1-k}\geqslant \frac{(1+1/2)^2}{k+(1-k)}=\frac{9}{4}.\]这个结果还可以利用均值不等式（调和平均$\leqslant$算术平均）得到:\[\frac{3}{\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}+\frac{1}{4(1-k)}}\leqslant \frac{2k+2k+4(1-k)}{3}=\frac{4}{3}.\]

isee

楼上已给出结果。

基它基本不等式法只是等价形式（的书写）。

===
直接基本不等式，得到不右边，那一定是等号取不到了。

敬畏数学

原式=1/k+1/4*1/（1-k）=[k+(1-k)][1/k+1/4*1/（1-k)]下面就很容易了，常见陈题。基本不等式搞定。。。。

敬畏数学

回复 4# 敬畏数学

柯西或者讲西柯或者基本不等式都差不多。柯西厉害些。。。

踏歌而来

刚才才想起来，要用基本不等式求最值，必须满足：一正二定三相等。
经尝试，只要把k分之一设为x，即可使用基本不等式。

谢谢大家！

踏歌而来

回复 4# 敬畏数学


    这个很巧妙！
    一开始以为你这样做，只能使用柯西不等式，其实，展开后就可以使用基本不等式了。

敬畏数学

如果是这样的形式：
y=6根号3/sinx+2/cosx，x∈（0，π/2）的最小值用基本不等式如何?

踏歌而来

回复 8# 敬畏数学


    试了下，好像乘以根号(sinx的平方+cosx的平方）不行吧？请指教！

敬畏数学

回复 9# 踏歌而来
不行啊！看高手出手，谢谢。。。

kuing

如果是这样的形式：
y=6根号3/sinx+2/cosx，x∈（0，π/2）的最小值用基本不等式如何? ...
敬畏数学 发表于 2016-12-12 18:15

设
\[f=\frac{6\sqrt3}{\sin x}+\frac2{\cos x},\]
由均值
\begin{align*}
\frac1f\cdot \frac{6\sqrt3}{\sin x}+\frac1f\cdot \frac{6\sqrt3}{\sin x}+\sin^2x
&\geqslant 3\cdot \sqrt[3]{\frac{\bigl(6\sqrt3\bigr)^2}{f^2}}=9\cdot \sqrt[3]{\frac4{f^2}}, \\
\frac1f\cdot \frac2{\cos x}+\frac1f\cdot \frac2{\cos x}+\cos^2x
&\geqslant 3\cdot \sqrt[3]{\frac4{f^2}},
\end{align*}
相加得
\[3\geqslant 12\cdot \sqrt[3]{\frac4{f^2}} \iff f\geqslant16,\]
取等略。

PS、其实就是往《憋间》14期最后一页代入相应的式子而来的。

敬畏数学

回复 11# kuing
妙！！！

踏歌而来

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    佩服，这构造很巧妙！

nkzxwdy

回复 11# kuing


厉害！！学习了。

敬畏数学

回复 11# kuing
[模仿]：6根号3/sinx+2/cosx=3根号3/sinx+3根号3/sinx+8(sinx)^2+1/cosx+1/cosx+8(cosx)^2-8>=16.可以用均值不等式了。
等号x=π/3成立。