向量相关的三角形心的判断

敬畏数学

三角形ABC，三边为a,b,c,且a/cosA*向量PA+b/cosB*PB+c/cosC*向量PC=0，则O为三角形的------心？
貌似以前在哪里看过，有链接的提供下，谢谢！

kuing

用正弦定理即 $\tan A\cdot\vv{PA}+\tan B\cdot\vv{PB}+\tan C\cdot\vv{PC}=\bm0$，所以 $P$ 是垂心。见《撸题集》第 1019 页 FAQ 21.

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又是哈哈，谢谢。好好看看。

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摘自文章里的重要结论，这里MARK下：
已知点 P 在 △ABC 内部，λ 1 , λ 2 , λ 3 ∈ R，
若 λ 1*向量PA + λ 2*向量PB + λ 3*向量PC = 0，则
S △PBC : S △PCA :S △PAB = λ 1 : λ 2 : λ 3 .

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回复 2# kuing

三个角正切比等于对应三角形面积比，则p为垂心。这个如何证明啊？谢谢！反之看到链
    接做法可以。