新的不等式kira~

血狼王

若$a,b,c$为非负实数，且$abc\leq 1.$
求证
$$|a^2-2b-2|+|b^2-2c-2|+|c^2-2a-2|\geq 6.$$

realnumber

打算就绝对值里的表达式正负分为八类
１．$a^2-2b-2\ge 0,b^2-2c-2\ge0 ,c^2-2a-2\ge0$则得$a>1,b>1,c>1$与$abc\le 1$矛盾.

２．$a^2-2b-2< 0,b^2-2c-2<0 ,c^2-2a-2<0$,则得$a<2,b<2,c<2$,
　　否则若有某字母，比如$a\ge2$,则$b>2,c>2$与$abc\le1$ 矛盾.
　　而此时不等式等价于$2a+2b+2c\ge a^2+b^2+c^2$，成立．

３．＂两正一负＂，具体操作时，发现哪个负都一样，归为一类．
      比如$a^2-2b-2\ge 0,b^2-2c-2\ge0 ,c^2-2a-2<0$
      得到$b\ge \sqrt{2} ,a\ge\sqrt{2+2\sqrt{2}},abc\le1,c\le \frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}$,则得
\[ |a^2-2b-2|+|b^2-2c-2|+|c^2-2a-2|\ge -c^2+2a+2> 6\]

４．＂两负一正＂,比如$a^2-2b-2\ge 0,b^2-2c-2<0 ,c^2-2a-2<0$
　　４．１．当$b\ge\sqrt{2}$时，沿用３．的办法．
　　４．２．当$1\le b <\sqrt{2}$时，同４．３．２．
　　４．３．当b<1时，
　　　　　　　　　４．３．１．若$c\ge 2,c^2-2a-2<0$,则$a\ge 2$,
　　　　\[ |a^2-2b-2|+|b^2-2c-2|+|c^2-2a-2|\ge a^2-2b-2-b^2+2c+2> 6.\]
                     　  ４．３．２．若$c\le 2$,　
\[ |a^2-2b-2|+|b^2-2c-2|+|c^2-2a-2|\ge -b^2+2c+2-c^2+2a+2\]
\[-b^2+2c+2-c^2+2a+2\ge -b^2+4+2\sqrt{2b+2}>6\]

好歹证明完了．分类讨论暴力流啊～～～．

realnumber

也是一个分类讨论的解法，分类很奇怪．