帮忙求一下这两个定积分

xianjiansyy

kuing

第一个
\begin{align*}
\int\frac x{\sin^2x}\rmd x&=-\int x\rmd(\cot x) \\
& =-x\cot x+\int\cot x\rmd x \\
& =-x\cot x+\int\frac1{\sin x}\rmd(\sin x) \\
& =-x\cot x+\ln \abs{\sin x}
\end{align*}

第二个简单还是自己来吧

敬畏数学

回复 1# xianjiansyy
这是哪里的？

isee

应该是大学基础课的作业啊。

青青子衿

第二题：
利用这个式子：
\[ \int_1^x \big|\,\ln t\,\big|{\rm d}t=x\big|\,\ln x\,\big|-(x-1){\rm sgn}(\ln x)+1\qquad(x\ne 0)\]
\begin{align*}
\int_{1/e}^e \big|\,\ln t\,\big|{\rm d}t
&=\int_1^e \big|\,\ln t\,\big|{\rm d}t+\int_{1/e}^1 \big|\,\ln t\,\big|{\rm d}t\\
&=\int_1^e \big|\,\ln t\,\big|{\rm d}t-\int_1^{1/e} \big|\,\ln t\,\big|{\rm d}t\\
&=e\big|\,\ln e\,\big|-(e-1){\rm sgn}(\ln e)+1-\frac{\big|\,\ln\frac{1}{e}\,\big|}{e}+(\frac{1}{e}-1){\rm sgn}\left(\ln\frac{1}{e}\right)-1\\
&=e-(e-1)-\frac{1}{e}+(1-\frac{1}{e})=2-\frac{2}{e}
\end{align*}