数量积求最小.

realnumber

a,b,c为三个平面向量，且│a│=1，│b│=│c│=2,求数量积（c-a）·(c-b)的取值范围。最大值容易，最小值怎么求啊？

最大出现在ab+2│a+b│+4,最小ab-2│a+b│+4．因为a,b,c都是独立变量，这个解法是先固定a,b.
这样最小答案是-0.5.

有没别的办法.

敬畏数学

回复 1# realnumber

a=(1.0)
     b=(2cost,2sint),土办法解决。期待妙招。

力工

回复 1# realnumber


    照朱老师的题，应该是(c-a)与(c-b)反向时最小啊，还有什么限制吧？

kuing

照朱老师的题，应该是(c-a)与(c-b)反向时最小啊，还有什么限制吧？ ...
力工 发表于 2016-12-14 20:40

想想图形就知道不是

kuing

其实一楼的解法已经很好了啊，而且还不需要限制为平面向量，反正闲着，还是把过程写完它吧：
\begin{align*}
(\bm c-\bm a)\cdot(\bm c-\bm b)
&=4-\bm c\cdot(\bm a+\bm b)+\bm a\cdot\bm b\\
&\ge4-2\abs{\bm a+\bm b}+\bm a\cdot\bm b\\
&=4-2\abs{\bm a+\bm b}+\frac{\abs{\bm a+\bm b}^2-\bm a^2-\bm b^2}2\\
&=\frac{(\abs{\bm a+\bm b}-2)^2-1}2\\
&\ge-\frac12,
\end{align*}
取等条件为 $\abs{\bm a+\bm b}=2$ 且 $\bm c$ 与 $\bm a+\bm b$ 方向相同，也就是 $\bm c=\bm a+\bm b$ 时，这显然可以取到。