函数零点问题

敬畏数学

证明：若a＞1/e，函数f(x)=ax^2-(a+1)xlnx+(a+1)x-1只有一个零点。

realnumber

导数>0就可以了啊，f(1)>0,x足够小,f(x)<0

敬畏数学

“”x足够小,f(x)<0”这样的话估计不会被采纳！谢谢。。。。
看能否放缩下，我没有想出啊！

isee

嘿嘿，刚才方向反了，重来。。。。

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回复 4# isee
坐在凳子上，耐心地等。。。。。

敬畏数学

回复 1# 敬畏数学
高手帮忙看看。。。。

kuing

$a$ 的范围显然还可以放宽些，至少可以放宽到 $a\geqslant 1/(2e-1)$（这还不是最佳的）。

证明：当 $a\geqslant 1/(2e-1)$ 时
\[f'(x)=2ax-(a+1)\ln x=(a+1)\left( \frac{2x}{1+\frac1a}-\ln x \right)\geqslant (a+1)\left( \frac xe-\ln x \right),\]
非常容易证明 $x/e\geqslant \ln x$，所以 $f'(x)\geqslant 0$，等号成立当且仅当 $a=1/(2e-1)$ 且 $x=e$，所以 $f(x)$ 是严格递增的。

显然 $f(1)=2a>0$，所以剩下只需找到一个负的点即可。

不难证明当 $x>0$ 时恒有 $e^x>x^2$，则
\[
f\left( \frac1{e^{a+2}} \right)
=\frac a{(e^{a+2})^2}+\frac{(a+1)(a+3)}{e^{a+2}}-1
<\frac a{(a+2)^4}+\frac{(a+1)(a+3)}{(a+2)^2}-1
=\frac{a-(a+2)^2}{(a+2)^4}<0,
\]
即得证。

PS、其实直接上极限算 $\lim_{x\to0}f(x)$ 才是最好的方法，非要投机取巧来绕过去其实没什么意思[困]要不是最近闲得蛋疼我才懒得去想……

isee

$a$ 的范围显然还可以放宽些，至少可以放宽到 $a\geqslant 1/(2e-1)$（这还不是最佳的）。

证明：当 $a\ge ...
kuing 发表于 2016-12-16 00:47

高考导向，没办法，也是高中不学极限的导数的短腿。

敬畏数学

确实这样折腾太复杂。找那个负值不一般啊！哎。。。

realnumber

\[ax^2<\frac{1}{3}\Leftrightarrow  x<\sqrt{\frac{1}{3a}}\]
\[(a+1)x<\frac{1}{3}\Leftrightarrow x<\frac{1}{3(a+1)}\]
\[-(a+1)x\ln{x}=(a+1)x\ln{1+\frac{1-x}{x}}<(a+1)(1-x)<\frac{1}{3}\Leftrightarrow x>?\]
最后一行在x=1处放缩，过大，不成功，所以修改在更小的地方$x=\frac{1}{e}$处放缩，并且注意到了次数问题
重新修改为：
\[\ln{\frac{1}{x}}=2\ln{\frac{1}{\sqrt{x}}}=2\ln{(1+\frac{1-\sqrt{ex}}{\sqrt{ex}}})+1<\frac{2}{\sqrt{ex}}-1<\frac{2}{\sqrt{ex}}\]
上一行原本计算有错误，经黄jf老师指出已经修改，
\[-(a+1)x\ln{x}=(a+1)x\ln{\frac{1}{x}}<\frac{2(a+1)\sqrt{x}}{\sqrt{e}}<\frac{1}{3} \Leftrightarrow   x<\frac{e^2(a+1)^2}{36}\]
所以当0<x<min{$\sqrt{\frac{1}{3a}},\frac{1}{3(a+1)},\frac{e^2(a+1)^2}{36},\frac{1}{e}$},就能够使得前三项都小于$\frac{1}{3}$.

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回复 10# realnumber
wonderful!!!

realnumber

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证明极限过程找ε-N就这个.

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回复 12# realnumber squeshi
  确实这样。有点这个意思。所以这样题有点坑人。尤其是当下。

陈习晖

陈习晖

陈习晖

通过作图软件可知：x0在（5,6）之间，所以a>1/5也可以

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回复 16# 陈习晖
与2楼相似啊!哎。。。。实在不行就这样诶。。。

kuing

回复 17# 敬畏数学

相似在何处？

realnumber

修正了10楼原本的一个计算错误.