一道二次函数的图像问题

敬畏数学

二次函数f(x)=ax^2-1/2x-3/4(a>0),在任何闭区间长度为2的区间上，总存在x1，x2,使得|f（X1）-f（x2）|≥1/4成立，求a的最小值.

realnumber

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对称轴x1=1/(4a),x2=1+x1符合就可以,可以证明等价于原题.不晓得算起来会碰到什么问题.

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要使函数在任意区间长度为2的闭区间上总存在两点x1，x2，使|f（x1）-f（x2）|≥
1/4成立，则包含对称轴长度为2的区间需要满足，|f（1/4a-1）-f（1/4a）|≥1/4恒成立，解得a≥1/4。
下面验证当a=1/4时，f(x)=1/4x^2-1/2x-3/4,对任意k∈R，总存在x1，x2∈[K,K+2],使得|f（X1）-f（x2）|≥1/4成立。。。。

敬畏数学

根据题意，满足题意的函数与后面的一次项与常数项无关。不妨假设y=ax^2(a＞0) ,显然这个可以表示开口向上的首项系数为a的任意抛物线
则若区间含原点,则由对称性,满足f(1)-f(0) 即可a≥1/4.
若区间不含原点,不妨假设在右边,则f（x）-f（x-2）≥1/4对任意x∈[2,+无穷）恒成立则有a（x-1））≥1/16,即a ≥1/16
综上 a≥1/4即为所求。