一道不等式含参数取值范围问题

敬畏数学

对于满足条件3a＋2b=ab的一切正实数a、b，不等式2kab≥a+b-（a^2+b^2）^1/2成立，则正实数k的取值范围为——————？用导数算了很久，答案有了，但小题可能有妙招？？？指教！谢谢。。。

kuing

数据给得那么差，答案是 $k\ge\frac{5-2\sqrt3}{26}$ 吗？

kuing

鉴于数据难看，我就不写完整过程了，提示下算了：
令 $a=1/x$, $b=1/y$，转化为 $2x+3y=1$，$x+y-\sqrt{x^2+y^2}\le2k$，
由柯西（或其他什么的）有 $\newcommand\rld{{\color{red}\lambda}}
\sqrt{x^2+y^2}\ge\dfrac{x+\rld y}{1+\rld^2}$，代入后令系数比为 $2:3$ 解出 $\rld$ 即可。

敬畏数学

回复 3# kuing
！谢谢。

敬畏数学

纯代数方法，太棒啦！

色k

反正无聊，再写一个

沿用3楼的代换，等价于 $x+y-\sqrt{x^2+y^2}\le2k(2x+3y)$，即 $(1-4k)\frac x{\sqrt{x^2+y^2}}+(1-6k)\frac y{\sqrt{x^2+y^2}}\le1$，也即 $(1-4k)\cos t+(1-6k)\sin t\le1$，其中 $t\in(0,\pi/2)$。

当 $k\ge1/6$ 时不等式显然恒成立；

当 $k<1/6$ 时，俩系数均为正，当 $t$ 变化时 $(1-4k)\cos t+(1-6k)\sin t$ 必能取到最大值 $\sqrt{(1-4k)^2+(1-6k)^2}$，所以等价于 $(1-4k)^2+(1-6k)^2\le1$，解出 $(5-2\sqrt3)/26\le k<1/6$。

综上得 $k\ge(5-2\sqrt3)/26$。