一道函数零点求参数的范围大题

敬畏数学

若函数f（x）=（x-a）^2*lnx-4e^2只有一个零点，求实数a的取值范围。

陈习晖

正负e吧，没细算

敬畏数学

回复 2# 陈习晖
不对哦！仔细提供过程下。你以前的那些图形方法，也可以吧，万不得已情形下，呵呵。。。

敬畏数学

回复 3# 敬畏数学
招徕太多的争议啊。。。尽量用那些术语等等。。。也是

陈习晖

答案不对

陈习晖

a<3e

踏歌而来

惭愧，做不出来。

kuing

分类讨论好无趣[困]

等价于
\[g(x)=\ln x-\frac{4e^2}{(x-a)^2}\]
只有一个零点。

（1）若 $a\leqslant 0$，$g(x)$ 定义域为 $(0,+\infty)$，且显然递增，
当 $x\to0^+$ 时 $g(x)\to-\infty$，当 $x\to+\infty$ 时 $g(x)\to+\infty$，所以 $g(x)$ 只有一零点，符合；

（2）若 $a>0$，$g(x)$ 定义域为 $(0,a)\cup (a,+\infty )$，
在 $(a,+\infty)$ 上，类似地有递增且 $x\to a^+$ 时 $g(x)\to-\infty$，$x\to+\infty$ 时 $g(x)\to+\infty$，有零点一个，
因此，在 $(0,a)$ 上就不能有零点，又 $x\to0^+$ 时 $g(x)\to-\infty$，于是等价于在 $(0,a)$ 上恒有 $g(x)<0$。

    （2-1）当 $0<a\leqslant 1$ 时，在 $(0,a)$ 上显然 $\ln x<0$，所以 $g(x)<0$，符合；

    （2-2）当 $a>1$ 时，易知等价于当 $x\in(1,a)$ 时恒有
\[\sqrt{\ln x}<\frac{2e}{a-x},\]
    也即
\[a<\frac{2e}{\sqrt{\ln x}}+x,\]
    令
\[h(x)=\frac{2e}{\sqrt{\ln x}}+x,\quad x\in (1,a),\]
    求导得
\[h'(x)=-\frac{e}{x\sqrt{\ln^3x}}+1,\]
    恰好有 $h'(e)=0$，由此可知当 $x<e$ 时 $h'(x)<0$，$x>e$ 时 $h'(x)>0$，因此：

        （2-2-1）若 $1<a\leqslant e$，则 $h(x)$ 在 $(1,a)$ 上递减，有 $h(x)>h(a)$，而 $h(a)>a$ 显然恒成立，故符合；

        （2-2-2）若 $a>e$，则 $h(x)$ 在 $(1,a)$ 上的最小值为 $h(e)=3e$，所以应有 $a<3e$。

综上所述，$a$ 的取值范围为 $a<3e$。

踏歌而来

太棒啦！