顶角20等腰证a^3+b^3=3a^2b

天音

已知顶角$20^o$的等腰三角形，腰长$a$，底边长$b$。求证：$a^3+b^3=3a^2b$

hejoseph

实质就是要找一个 $\cos 80^\circ$ 所满足代数方程而已，这不是很容易的吗？

kuing

嗯，三倍角公式秒杀
\[\frac12=\sin30\du=3\sin10\du-4\sin^310\du=3\cdot\frac b{2a}-4\cdot \left( \frac b{2a} \right)^3 \riff a^3+b^3=3a^2b.\]

PS、度的代码有本论坛自定义的命令 \du ，不要用 ^o

天音

谢谢！不过这是初中题，有几何解法吗？

kuing

回复 4# 天音

几何法也没什么难的，两边分别作全等，如图



易知下面两个小三角形也是顶角 $20\du$ 的等腰，由此易知 $FG=a-2b$, $BF=b^2/a$, $AF=a-b^2/a$，从而
\[\frac{a-\frac{b^2}a}{a-2b}=\frac ab \riff a^3+b^3=3a^2b.\]

天音

学习了！