关于三角形心的向量大小关系问题

敬畏数学

三角形ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，O、I、H、G分别为该三角形的外心、内心、垂心、重心，则AO*BC，AI*BC，AH*BC，AG*BC（均为向量数量积）的大小关系——————？

kuing

由《撸题集》第 524 页题目 4.7.20 可知：
\begin{align*}
\vv{AO}\cdot\vv{BC}&=\frac12(b^2-c^2)=-\frac32,\\
\vv{AI}\cdot\vv{BC}&=\frac12(b-c)(b+c-a)=\frac{\sqrt7-3}2,
\end{align*}
显然 $\vv{AH}\cdot\vv{BC}=0$，设 $BC$ 中点为 $M$，则
\[\vv{AG}\cdot\vv{BC}=\frac23\vv{AM}\cdot\vv{BC}=\frac23\vv{AO}\cdot\vv{BC}=-1.\]

注：书中计算 $\vv{AI}\cdot\vv{BC}$ 的第一行有误，但结果没错，见 forum.php?mod=viewthread&tid=3763 第三个勘误。

敬畏数学

OK!谢谢。哈哈又是那里有。
也可以：AI=bc/（a+b+c）（AC/b+AB/c）（根据内心是三角形角平分线推得。得到AI*BC=AI*（BA+AC）
（大写字母全向量）
同时，外心向量在相邻两边的的数量积为1/2相应边长的平方。AO*BC=AO*(AC-AB)=1/2(b^2-c^2)

kuing

回复 3# 敬畏数学

“又是那里有”——所以多看撸题集，用好搜索功能，能省掉很多帖子

敬畏数学

[b]回复 3# [i]敬畏数学[/i
利用该AI可以轻松解决：已知椭圆C：，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有IG=mF1F2（其中m为实数），求椭圆C的离心率e；中间利用向量的三点共线。