某个难解的不等式

caesarxiu

如题求解，我试过了三角换元、柯西均值、向量、构造函数，然而依旧技穷，求大大们不吝赐教。
题：
若实数$x、y$满足$2x^2+xy-y^2=1$，则$\frac{x-2y}{5x^2-2xy+2y^2}$的最大值为____

kuing

数据是凑得刚好的，不然没得玩（随便改个系数就可能会遇到四次方程）。

令 $x=2y+t$，代入条件得 $4 x^2 + x y - y^2=4 t^2+17 t y+17 y^2=1$，代入所求得
\[\frac{x-2y}{5x^2-2xy+2y^2}=\frac{t}{5 t^2+18 t y+18 y^2}
=\frac{t}{5 t^2+\frac{18}{17}(1-4t^2)}=\frac{17 t}{18+13 t^2}\le\frac{17}{6 \sqrt{26}},\]
取等略。

caesarxiu

回复 2# kuing
抱歉，打错了一个数字，系数4应改为2

kuing

回复 3# caesarxiu

方法一样可以用，数据还简单些。

caesarxiu

版主就是厉害，用你的方法算的结果是$\frac{\sqrt{2}}{4}$。
再就是想问一下，你是怎么想到这样变换的？有什么总结性的套路么？

kuing

原想法就是把分子变成一个字母 t 方便倒过来，而变完后发现数据刚好都能将 y 直接消掉了，结果就这样了。
所以说这是因为题目数据凑合，才这么顺利，一旦变一下数据，就很可能没得解了，故此我觉得这种题没啥意思。