动圆C与x轴相切且被y=x截得的弦长为定值2，求圆心C的轨迹

天音

如题，代数解法很简单，不知有没有几何解法？因为结果好像是旋转了的反比例函数来着

kuing

几何解法暂时没想到，倒是想到了推广：

命题：两条相交直线被一动圆所截的两段弦长为不相等的定值，则动圆圆心的轨迹为等轴双曲线。

（注：1楼的题可视为上述命题当其中一个定值为零的特例）

证明：建系使两直线方程为 $y=\pm kx$（$k\ne0$），被动圆所截的两段弦长分别 $2m$, $2n$（$m\ne n$），设圆心为 $(x,y)$，则由点到直线距离公式及勾股定理，有
\[\left( \frac{\abs{kx-y}}{\sqrt{k^2+1}} \right)^2+m^2=\left( \frac{\abs{kx+y}}{\sqrt{k^2+1}} \right)^2+n^2,\]
化简即为
\[xy=\frac{(m^2-n^2)(k^2+1)}{2k},\]
所以为等轴双曲线。

乌贼

如图：\[ OC=\sqrt{y^2-1}, (y\geqslant \sqrt{2})\\OB=\sqrt{2y^2-2}\\x=y+\sqrt{2y^2-2}\]即\[ x^2-2xy-y^2+2=0 \]