已知$a,x,y>0,xy=1$，求证$xa^y+ya^x\ge2a$

天音

如题

kuing

若 $a\geqslant1$，则由均值得
\[xa^y+ya^x\geqslant 2\sqrt{xya^{x+y}}\geqslant 2\sqrt{xya^{2\sqrt{xy}}}=2a;\]

若 $0<a<1$，则由加权均值不等式有
\[\frac x{x+y}a^y+\frac y{x+y}a^x\geqslant a^{\frac{2xy}{x+y}}\geqslant a^{\frac{2xy}{2\sqrt{xy}}}=a,\]
所以
\[xa^y+ya^x\geqslant (x+y)a\geqslant 2\sqrt{xy}a=2a.\]

综上，得证。

天音

回复 2# kuing


    我想用导数好久都没做出来，你两三下均值就出来了，佩服