椭圆焦点弦比值问题

敬畏数学

椭圆x^2/25+y^2/9=1,过椭圆右焦点F直线l交椭圆A,B两点，交y轴于P点，PA=mAF,PB=nBF，（其中PA、AF、PB、BF均为向量）则m+n=----？
设直线方程，然后。。。。。暴力算得OK！看有没有简单的方法，毕竟是小题吗。

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是否可以推广到一般的椭圆长轴，短轴分别为2a,2b情况；
是否推广到双曲线，抛物线得到类似的结论？

kuing

请问“PA=mAF,PB=nBF” 这式子里面是长度还是向量？

敬畏数学

回复 3# kuing
抱歉！均为向量。。。

kuing

参考《撸题集》第677页题目 5.2.8

敬畏数学

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可以有一般结论：-2a^2/b^2
另外，如CD为椭圆中心的弦，P为椭圆上任意一点，则Cp斜率与PD斜率为定值-b^2/a^2.

kuing

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可以有一般结论：-2a^2/b^2
敬畏数学 发表于 2017-1-5 09:30

这结论还不够一般，根据《撸题集》中的那题可知，直线并非一定要过F，过x轴上任一定点都可以。
还可以将书上的过程最后的式子继续写下去，写出具体的定值
\[\lambda+\mu=\cdots=-\frac{2OQ^2}{AQ\cdot BQ}-2
=-\frac{2OQ^2}{OA^2-OQ^2}-2
=-\frac{2OA^2}{OA^2-OQ^2}
=-\frac{2a^2}{a^2-OQ^2},\]
特别地，当 $Q$ 为焦点 $F$ 时上式就是 $-2a^2/b^2$。

当然，以上都是在椭圆里讨论，至于双曲线，由于不能变成圆，我就不管了，尽管我猜也有类似结论。

敬畏数学

回复 7# kuing
抛物线为零。双曲线需要再算算。

陈习晖

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过焦点的线段比值用极坐标处理很快捷

陈习晖

回复 8# 敬畏数学
用极坐标