求参

caesarxiu

你们看看该怎么解，我是想不出来
若函数$f(x)=x^2+\dfrac{2}{x}-alnx,(a>0)$有唯一零点$x_0$且$m<x_0<n(m,n为相邻整数)$，则$m+n$的值为____

kuing

显然当 $x\to0^+$ 时 $f(x)\to+\infty$，当 $x\to+\infty$ 时由于 $x^2$ 比 $\ln x$ 高阶，故也有 $f(x)\to+\infty$，
由此，要它有唯一零点，这零点就只能是最小值，因此有
\[f'(x_0)=f(x_0)=0 \riff \frac{x_0^3+2}{x_0\ln x_0}=\frac{2x_0^3-2}{x_0}=a,\]
故 $x_0>1$，令
\[g(x)=\frac{x^3+2}{2x^3-2}-\ln x,\quad x>1,\]
则 $g(x_0)=0$，易知 $g(x)$ 递减，且 $g(2)=5/7-\ln2>5/7-0.7>0$，以及 $g(3)=29/52-\ln3<29/52-1<0$，可见 $x_0$ 在 $(2,3)$ 内。

caesarxiu

恩，看是看懂了，只是想问一下关于$x^2与lnx$比阶来求极限是那个数学分支的概念

realnumber

《数学分析》

caesarxiu

回复 4# realnumber

《数学分析》是一个抢手名字，我找了一本华东师范的PDF，估计着在高考前也看不完，但愿多掌握一些分析函数的思想。

realnumber

觉得高考不需要看数学分析的，还不如找各类试卷练熟练度呢，

caesarxiu

回复 6# realnumber
那种试卷根本就不用自己去找，老师都是一沓一沓的发下来，高三真是苦逼了。

realnumber

回复 7# caesarxiu

恩，同感，我就是老师，２０５８年法律规定每人只许做２套参加高考．