含参数列的问题

caesarxiu

我看论坛里对数列的讨论挺少的，那我就来一发喽。
我记得我当时是用不动点法很艰难繁复的证完的，我想应该还有更简便的方法，你们试试看。

$已知数列\{a_n\}的前n项和为S_n，且满足(2t+3)(S_{n+1}-1)=(3t+4)S_n,a_1=1,其中t>0.求证a_n为等比数列.$
$若记数列\{a_n\}的公比为f(t)，数列\{b_n\}满足b_1=2，b_{n+1}=f(b_n),试判定b_n与\sqrt{2}的大小.$

realnumber

回复 1# caesarxiu
f(t)至少写个，解这个没乐趣．不证了，直接令n=1,$f(t)=\frac{3t+4}{2t+3}$
然后再考虑$\sqrt{2}$能否去凑．
解不等式$\frac{3t+4}{2t+3}>\sqrt{2}$解得$t>\sqrt{2}$,而$2>\sqrt{2}$,由数学归纳法可以证明$b_n>\sqrt{2}$

caesarxiu

回复 2# realnumber

原来可以不用不动点法，我当时求出了个比拉马努金恒等式还奇怪的通式……lol