转：一个数列和不等式

realnumber

\[a_1=0.5,a_{n+1}=\sin{(0.5\pi a_n)},n\in N^+,proof : S_n>n-2.5\]
$S_n$估计是{$a_n$}的前n项和．

realnumber

可以用导数证明这２个函数［０.５，１］的大小关系
进一步得到
\[1-a_{n+1}=1-\sin{(0.5\pi a_n)}\le 0.8(1-a_n)\]
要证明$S_n>n-2.5$,即要证明$(1-a_1)+(1-a_2)+\cdots+(1-a_n)<2.5$
又$\frac{0.5}{1-0.8}=2.5$