凹四边形的问题

caesarxiu

给定任意的凹四边形，若平面内存在一点使得该点到四边形的四个顶点的长之和最小，求最小值以及该点需满足的条件。

hejoseph

所求的点就是图中的点 $C$。

realnumber

（ 开始是发现这个点P不在三角形ABD外面，进一步发现若C是三角形ABD费马点的话，P就是C点，接着猜P就是三角形ABD内部，说不定就是C点，P在CB上的延长线上与PC重合比较，可以用两边之和大于第三边证明．那么P在其它位置应该也可以和PC重合比较了．）
接下来，C点一定会在这三个三角形中某个内，三角形ABP,三角形BDP,三角形ADP比如在三角形ABP内，那么有PD+PB>CD+CB,而这个成立PC+PA>AC
两式相加所以有PD+PB+PC+PA>CD+CB+CA.因此最小就是PC重合．完

caesarxiu

（ 开始是发现这个点P不在三角形ABD外面，进一步发现若C是三角形ABD费马点的话，P就是C点，接着猜P就是三角 ...
realnumber 发表于 2017-1-10 09:38

我也想过用两边和第三边的关系，但是后来我发现有一点纰漏。
对于一个三角形来说，当对象是钝角三角形的话，似乎用两边之和大于第三边可以求得其费马点就是$c$点，但是如果是锐角三角形的话，费马点则是在三角形内部。
况且凹四边形图形的成立，要满足至少有一个三角形是钝角三角形，如果有一个三角形是锐角的话，显然用两边大于第三边是不对的。
你给的第一不等式中，两边之和大于第三边，取等时三角形不成立，当我们不考虑是否要使三角形图形存在时可以添上等号。
以下三角形皆指ACD和ABC。
当没有等号时你的不等式的大于号用不等式的性质相加是成立的，但是当添上等号时，两个不等式分别满足取等时，是分别针对于两个三角形而言的，故若两个三角形都为钝角时取等条件相同，两式相加可取等。但如果有一个是锐角三角形时，两式的取等条件不同，两式相加所得的不等式不能舔等号。

kuing

回复 4# caesarxiu

完全不知道你在说啥，3楼的证明基本上没问题，而且整个证明跟费马点毫无关系（括号部分不必看），跟钝角锐角什么的也没关系。

另外，图片不要存为 bmp 格式，建议存为 jpg 或 png 格式，因为 bmp 图体积大，往往比其他格式大几十倍（1楼的bmp图101kb，如果存为png大概2kb）。

caesarxiu

反例：$ED+EB<CD+CB$

caesarxiu

回复 5# kuing

图片已替换:L,版主这么勤俭，我还能说什么呢
话说小于现在的六倍的bmp居然体积二十倍于现在的png图片，不可思议。。

kuing

回复 6# caesarxiu

哦，他可能是写错字母了，我也没看仔细（因为方法就是那样子），将“比如在三角形ABP内”改成“比如在三角形BDP内”就可以了。

如果按你画的图 C 在 ABE 内的话，那两个不等式就是 EA+EB>CA+CB 和 EC+ED>CD

realnumber

回复 8# kuing
写的时候走神了．

realnumber

那凸四边形，甚至五边形等，这样的点如何解？
平行四边形就是中心。

kuing

回复 10# realnumber

凸四边形显然就是对角线交点

realnumber

回复 11# kuing


    恩，明白了。两个“两边之和大于第三边。”
那凸五边形或多边形呢？听说是未解决问题呢.

hejoseph

边数超过4的一般几何方法解决不了的，都要解高次方程。

hbghlyj

en.wikipedia.org/wiki/Geometric_median 对于$L^1$范数  Geometric median的每个坐标是n个点的该坐标的中位数
en.wikipedia.org/wiki/Weber_problem