请教此题是否有选项（二次函数零点求范围）

渔舟

据说是没选项

kuing

说说你的看法

渔舟

我觉得就选D

渔舟

但教育学院后来说没选项，就是大于1
请教一下郭总

敬畏数学

回复 4# 渔舟
目测应该是（1，+∞）

realnumber

判别式Δ>0,得到$b^2> 4ac$
令$\frac{b}{a}=x,\frac{c}{a}=y$
得到$x^2>4y$
又$0<b\le 3a$,即$0<x\le3$你画下图象
求$\frac{a+b-c}{a}=1+x-y$的取值范围．

敬畏数学

回复 5# 敬畏数学
其实，此题根据直觉判断C、D。c可以-很大。再看下（1，2）之间的数是可以的。所以就显然了。呵呵，此题最好是望望就可以。

kuing

请教一下郭总
渔舟 发表于 2017-1-11 13:18

不要叫我郭总，我是无业游民。


大于1的结果估计是这样来的：
因为 $b^2>4ac$，故
\[\frac{a+b-c}{a}>\frac{a+b-\frac{b^{2}}{4a}}{a}=2-\left( 1-\frac{b}{2a} \right)^{2},\]
由 $0<b\le 3a$ 得
\[\frac{b}{2a}\in \left( 0,\frac{3}{2} \right)\riff 2-\left( 1-\frac{b}{2a} \right)^{2}>1,\]
所以 $(a+b-c)/a>1$。


大于2的结果估计是这样来的：
设 $t=(a+b-c)/a$，则 $f(x)=ax^2+bx+(1-t)a+b$，于是
\[\Delta=b^2-4a((1-t)a+b)>0,\]
整理得
\[t>2-\left( 1-\frac{b}{2a} \right)^{2},\]
它要对任意 $0<b\le 3a$ 恒成立，显然当 $b=2a$ 时上式右边取最大值 $2$，所以 $t>2$，即 $(a+b-c)/a>2$。



我应该没猜错吧？这是很自然的两种做法。

那样的话，可以肯定的是第二种解法是错的。
注意 $t$ 并不是一个独立的参数，$t$ 是 $(a+b-c)/a$，与 $a$, $b$ 是有关的，
因此 $t>2-( 1-\frac{b}{2a} )^{2}$ 恒成立并不等价于 $t>\max\{2-( 1-\frac{b}{2a} )^{2}\}$。

至于第一种解法，最好还是补充一下存在趋向1和无穷大两种情况的说明。
比如说，当 $c\to-\infty$ 时显然 $(a+b-c)/a\to+\infty$；
当 $a=1/4$, $c=b^2-\veps$, $\veps>0$ 时，有 $\Delta=\veps>0$, $(a+b-c)/a=1+4b-4b^2+4\veps$，故当 $b$, $\veps\to0$ 时 $(a+b-c)/a\to1$。

渔舟

回复 6# realnumber


    这个是线性规划吧，撸不出

渔舟

回复 8# kuing


    谢谢阿K

kuing

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这个是线性规划吧，撸不出
渔舟 发表于 2017-1-11 16:57

$x^2>4y$, $0<x\le3$

$y=x+1-\frac{a+b-c}a$，由图知 $1-\frac{a+b-c}a\in(-\infty,0)$

渔舟

回复 11# kuing


    学习！

敬畏数学

回复 8# kuing
最后三行perfect！