二次函数，取值范围

lrh2006

请各位指点，谢谢

lrh2006

回复 1# lrh2006


    哪位高手出来指点下啊？我想用几何画板画个图，结果抛物线也画不出来。抛物线过（0，0）（1,1）时，M=0，抛物线过（1，-1）（-1,0）时，M=-25/16.答案是A.我想知道为什么是这些情况下取到最值。先谢谢大家啦

敬畏数学

其实你已经得到答案啦！哈哈。我再啰嗦下。所求抛物线由y=x^2平移所得，首先看y=x^2上下移动，最小值M的最大值情形，只有y=x^2经过（1,1），此时x=0符合题意。再看最小M的最小值情形，注意f（1）>=-1,若f（1）=-1时，此时y=x^2-2零点（-根号2）不合题意。只能右移再上移动，使得图像过（-1,0）及（1，-1）此时得到y=（x-1/4）^2-25/16.

realnumber

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    鼓掌....

xugaosong

回复 2# lrh2006

先确定$b$，$c$满足的约束条件，然后求$z=\dfrac{4c-b^2}{4}$的取值范围．

kuing

代数解法也很简单啊。

依题意可设 $f(x)=(x-x_1)(x-x_2)$, $x_1\in [-1,0]$，则
\begin{align*}
\abs{f(1)}=(1-x_1)\abs{1-x_2}\leqslant 1
&\iff \abs{1-x_2}\leqslant \frac1{1-x_1} \\
&\iff 1-\frac1{1-x_1}\leqslant x_2\leqslant 1+\frac1{1-x_1},
\end{align*}
而
\[M=f\left( \frac{x_1+x_2}2 \right)=-\frac14(x_1-x_2)^2,\]
因为
\[1-\frac1{1-x_1}-x_1=\frac{-x_1(2-x_1)}{1-x_1}\geqslant 0,\]
故 $x_2\geqslant x_1$，等号成立时 $x_1=x_2=0$，所以 $M_{\max}=0$，且
\[2\sqrt{-M}=x_2-x_1\leqslant 1+\frac1{1-x_1}-x_1=t+\frac1t,\]
其中 $t=1-x_1\in [1,2]$，所以
\[2\sqrt{-M}\leqslant 2+\frac12=\frac52
\riff M\geqslant -\frac{25}{16},\]
当 $x_1=-1$, $x_2=3/2$ 时取等，所以范围就是 $[-25/16,0]$。

lrh2006

谢谢楼上各位的帮助，豁然开朗，多谢