一个群里的直线与圆

2009

已知 $m \neq 0$，设直线 $l_1: x-m y-1=0$ 交曲线 $E:(x-2)^2+y^2=3$ 于 $A,C$ 两点，直线 $l_2: m x+y-m=0$ 交曲线 $E$ 于 $B, D$ 两点，$C, D$ 两点均在 $x$ 轴下方．当 $C D$ 的斜率为 $-1$ 时，求线段 $A B$ 的长．

xugaosong

回复 1# 2009


    可以利用：内接于圆的四边形的对角线互相垂直，则圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半．

hbghlyj

由题知 $l_1 \perp l_2$，且两条直线均恒过点 $N(1,0)$，
设曲线 $E$ 的圆心为 $E$，则 $E(2,0)$，线段 $C D$ 的中点为 $P$，
则直线 $E P: y=x-2$，设直线 $C D: y=-x+t$，
由 $\left\{\begin{array}{l}y=x-2 \\ y=-x+t\end{array}\right.$，解得点 $P\left(\frac{t+2}{2}, \frac{t-2}{2}\right),$
由圆的几何性质，$|N P|=\frac{1}{2}|C D|=\sqrt{|E D|^2-|E P|^2}$，
而 $|N P|^2=\left(\frac{t+2}{2}-1\right)^2+\left(\frac{t-2}{2}\right)^2,|E D|^2=3,|E P|^2=\left(\frac{|2-t|}{\sqrt{2}}\right)^2$，解之得 $t=0$ 或 $t=3$，
又 $C, D$ 两点均在 $x$ 轴下方，直线 $C D: y=-x$．
由 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-4 x+1=0 \\ y=-x\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}-1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{\sqrt{2}}{2} \\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}-1 .\end{array}\right.$
不失一般性，设 $C\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}-1\right), D\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}-1\right),$
由 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-4 x+1=0 \\ y=u(x-1)\end{array}\right.$ 消 $y$ 得：$\left(u^2+1\right) x^2-2\left(u^2+2\right) x+u^2+1=0, \quad$（1）
方程（1）的两根之积为 1，所以点 $A$ 的横坐标 $x_A=2+\sqrt{2}$ ，
又因为点 $C\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}-1\right)$ 在直线 $l_1: x-m y-1=0$ 上，解得 $m=\sqrt{2}+1$，
直线 $l_1: y=(\sqrt{2}-1)(x-1)$，所以 $A(2+\sqrt{2}, 1)$
同理可得，$B(2-\sqrt{2}, 1)$，所以线段 $A B$ 的长为 $2 \sqrt{2}$.