前两天网友问的求$\sum\sqrt{1-2a^2}$范围差点掉坑

kuing

2017-02-01
厦门过必思 9:28:06

kuing 20:00:32
这个有难度咩？
厦门过必思 20:01:27
我很久没接触了
生疏了
你帮我解下
kuing 20:09:20
old.pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/2011/sxkj3/sxkj3 … 20110516_1041458.htm
你可以参考一下我以前写的这篇东东
这题可以用它

如上，由于一眼看出 $\sqrt{1-2x^2}$ 是上凸函数，想当然地以为和链接中的题一样，最大值用切线，下确界用支撑线搞定。

殊不知，最大值没问题，但是下确界却不行，因为变量还得满足 $a$, $b$, $c<\sqrt{1/2}$，而 $\bigl(0,0,\sqrt{1/2}\bigr)$ 和 $\bigl(0,\sqrt{1/2},\sqrt{1/2}\bigr)$ 都不满足 $a+b+c=1$，可见用不了支撑线。

下面就用调整法来搞下确界吧。

设 $f(x)=\sqrt{1-2x^2}$，它的图像显然是椭圆的一部分，所以是严格的上凸函数。
根据凸函数的性质，若 $x_1+y_1=x_2+y_2$ 且 $\abs{x_1-y_1}<\abs{x_2-y_2}$，则 $f(x_1)+f(y_1)>f(x_2)+f(y_2)$。

故此，若 $a+b\leqslant\sqrt{1/2}$，则有
\begin{align*}
f(a)+f(b)+f(c)&>f(0)+f(a+b)+f(c)\\
&>f(0)+f\left(a+b+c-\sqrt{\frac12}\right)+f\left(\sqrt{\frac12}\right)\\
&=1+\sqrt{1-2\left(1-\sqrt{\frac12}\right)^2}\\
&=1+\sqrt{2\sqrt2-2};
\end{align*}
若 $a+b>\sqrt{1/2}$，则有
\begin{align*}
f(a)+f(b)+f(c)&>f\left(\sqrt{\frac12}\right)+f\left(a+b-\sqrt{\frac12}\right)+f(c)\\
&>f\left(\sqrt{\frac12}\right)+f\left(a+b+c-\sqrt{\frac12}\right)+f(0)\\
&=1+\sqrt{2\sqrt2-2},
\end{align*}
两种情况的结论都一样，当 $(a,b,c)\to\bigl(0,1-\sqrt{1/2},\sqrt{1/2}\bigr)$ 时原式趋向此值，故此这就是原式的下确界，再结合地球人都知道最大值是 $\sqrt7$，所以原式的取值范围就是 $\left(1+\sqrt{2\sqrt2-2},\sqrt7\right]$。

kuing

咦，其实后面 $a+b>\sqrt{1/2}$ 那部分是多余的，皆因显然 $a+b$, $b+c$, $c+a$ 三者中必定有一个 $\leqslant 2/3$，而 $2/3<\sqrt{1/2}$，故由对称性只需讨论 $a+b<\sqrt{1/2}$ 的情形即可。

不过懒得改了，看看另一种调整过程也没坏。

kuing

一般地，设 $a_i\in[a,b]$, $a<b$, $i=1$, $2$, \ldots, $n$，且 $a_1+a_2+\cdots+a_n$ 为定值，若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是严格的上凸函数，记 $F=f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)$，则 $F$ 取最小值时各 $a_i$ 中至少有 $n-1$ 个取区间端点值。

证明：假设 $F$ 取最小值时存在 $a_i$, $a_j$ 使 $a<a_i\leqslant a_j<b$，根据凸函数的性质，
若 $a_i+a_j\leqslant a+b$，则 $f(a_i)+f(a_j)>f(a)+f(a_i+a_j-a)$，可见将 $a_i$, $a_j$ 调整为 $a$, $a_i+a_j-a$ 时 $F$ 更小；
若 $a_i+a_j>a+b$，则 $f(a_i)+f(a_j)>f(a_i+a_j-b)+f(b)$，可见将 $a_i$, $a_j$ 调整为 $a_i+a_j-b$, $b$ 时 $F$ 更小。
所以假设不成立，即得证。


这样，对于1楼的题，将 $a$, $b$, $c$ 的范围改成 $\bigl[0,\sqrt{1/2}\bigr]$ 的话，那么原式取最小值时 $a$, $b$, $c$ 至少两个取区间端点值，这只有一种可能，就是 $(a,b,c)=\bigl(0,1-\sqrt{1/2},\sqrt{1/2}\bigr)$。

血狼王

这种坑比较难发现，确实需要提防
K兄辛苦了