不等式 $6\le\sum(2-x)\sqrt{1+3y}\le43/6$

血狼王

若$x,y,z\in [0,1].$
求证
$$6\leq (2-x)\sqrt{1+3y}+(2-y)\sqrt{1+3z}+(2-z)\sqrt{1+3x}\leq \frac{43}{6}.$$

血狼王

若$x,y,z$非负。
求证
$$5\sum \frac{x}{2y^2+yz+2z^2}\geq 2\sum \frac{1}{y+z}.$$