这个数列如何放缩好？

力工

已知数列{$a_n$}满足：$a_1=\dfrac{1}{2}$,$(n+1)a_{n+1}$=$na_n+a_n^2$,求证：$na_n\leqslant \dfrac{7}{4}$.
天灵灵地灵灵，大神快点来出现！

kuing

这个帖 forum.php?mod=viewthread&tid=2554 里面3楼的结果应该可以用

力工

回复 2# kuing


    形同但变形难，沿扎克指的这个路走不下去。请大神具体具体更具体。

战巡

令$b_n=na_n$，由于
\[b_{n+1}=b_n+\frac{b_n^2}{n^2}>b_n\]
可知$b_n$递增，有
\[b_{n+1}<b_n+\frac{b_nb_{n+1}}{n^2}\]
\[\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b_{n+1}}<\frac{1}{n^2}\]
\[2-\frac{1}{b_n}<\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^2}<\frac{\pi^2}{6}\]
\[b_n<\frac{1}{2-\frac{\pi^2}{6}}\approx 2.8164\]
这样看来从第一项就开始似乎太夸张，从第二项开始好了，易证$b_2=\frac{3}{4}$有
\[\frac{4}{3}-\frac{1}{b_n}<\frac{\pi^2}{6}-1\]
\[b_n<\frac{6}{14-\pi^2}\approx 1.45<\frac{7}{4}\]

力工

回复 4# 战巡

巡巡的方法好！可惜对弱渣来说，没有这么多知识贮备量。